Derivadas

Las derivadas desempeñan un papel muy importante en las matemáticas, la física, la ingeniería o las ciencias sociales. Describe la rapidez con la que varía una determinada función cuando varían sus variables independientes.

El cálculo de la derivada de una función entra dentro del cálculo infinitesimal junto al cálculo integral.

La noción de derivada de una función matemática f(x) está estrechamente relacionada con la de límite.

Son muchas las aplicaciones de la derivada. La derivada es fundamental para hallar máximos y mínimos, crecimiento o decrecimiento de una función la aplicación de la regla de l’Hôpital para el cálculo de determinados límites, etc.

• Derivada de una función en un punto
• Interpretación geométrica de la derivada
• Derivadas laterales
• Derivabilidad y continuidad
• Función derivada
• Tabla de derivadas
• Derivada implícita
• Derivadas inmediatas
  • Derivada de una constante
  • Derivada de x
  • Derivada de un polinomio
  • Derivada de una potencia
  • Derivada de una raíz
  • Derivadas logarítmicas
  • Derivada exponencial
  • Derivadas trigonométricas
• Reglas de derivación
  • Derivada de la suma
  • Derivada de la resta
  • Derivada de un producto
  • Derivada de un cociente
  • Regla de la cadena
  • Derivada de la funcion inversa
• Teoremas de las derivadas
  • Teorema de Bolzano
  • Teorema de Rolle
  • Teorema del Valor Medio
  • Teorema de Cauchy
• Segunda derivada
• Aplicaciones de las derivadas
• Teorema fundamental del cálculo
• Derivadas parciales

Derivada de una función en un punto

Sea a un punto de un intervalo abierto I en el que está definida la función f(x). Cuando la variable independiente x pasa del valor a a otro x₁, la variable x habrá experimentado una variación Δx  = x₁ – a. A este incremento se le suele llamar también h. Entonces se produce un incremento en el valor de la función, es decir, en la variable dependiente Δ y = f(a + Δx) – f(a).

Si el incremento Δx se va haciendo infinitamente pequeño, acercándose hacia la el valor de la abscisa a, ya podemos introducir la definición del concepto de derivada de una función f(x) en el punto para el que x = a. Designada f’(a), la derivada es el límite, si es que existe, de este cociente:

La derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea T.V.I.(a).

La derivada en un punto es un número real y puede ser negativa, positiva o nula.

Si el límite no existiera, incluso en el caso de que fuese infinito, entonces f(x) no sería derivable en a.

Pero si la función f(x) admite derivada en a, se dice que f(x) es derivable en a.

Y si la función f(x) admitiera derivada en un intervalo abierto I, se dice que f(x) es derivable en I.

Cuando existe f’(a), entonces f(x) es continua en a.

La expresión de la derivada en atambién se puede escribir de esta manera:

O, también, la menos empleada notación de Leibniz:

Y otras expresiones equivalentes.

Interpretación geométrica de la derivada

Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx]. Es el siguiente cociente:

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δ x, es decir, la tangente del ángulo α:

O, lo que es lo mismo:

Si hacemos Δ x cada vez menor, de manera que tienda a cero, los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx tienden a confundirse en un punto.

De esta manera, la recta secante anterior, en el límite pasa a ser la tangente a la gráfica de la función en (a, f(a)), es decir, la tangente del ángulo α:

Sabiendo la derivada, o lo que es lo mismo, la tangente del ángulo que forma la recta tangente, se puede obtener la ecuación de dicha recta, como se verá en el ejercicio.

Esta interpretación geométrica de la derivada ilustra la no derivabilidad en un punto anguloso, como en el caso, el (0, 0) de la imagen, punto donde no se puede trazar una única tangente. No hay derivada en ese punto.

Como se ha dicho, la derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea en ese punto: T.V.I.(a).

Derivadas laterales

Las derivadas laterales permiten saber si una función tiene derivada en un punto. Y también si existe la función derivada.

Dado que la derivada en un punto de una función es el límite de la tasa de variación media en dicho punto, igualmente se pueden estudiar si existen en él los limites laterales. De esa manera aparece la noción de las derivadas laterales.

La derivada por la izquierda en el punto a del dominio de f(x), es el siguiente límite, si este existe:

Como se ve en la figura:

La derivada por la derecha en el punto a del dominio de f(x), es el siguiente límite, si este existe:

Como se puede observar en la figura:

La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha y ambas derivadas laterales son iguales:

Derivabilidad y continuidad

La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha de a y ambas derivadas laterales son iguales.

La continuidad de una función o de uno de sus intervalos no indica que ésta sea necesariamente derivable.

Contrariamente, toda función o intervalo de función que sea derivable sí que es continua.

Cuando en un punto de una función no hay continuidad no tiene sentido hallar la derivada en ese punto.

La continuidad de una función en un punto, en un intervalo, o en todo su dominio, es una condición necesaria, pero no suficiente para que ésta sea derivable.

En lenguaje no formal, para que una función sea derivable, además de que no hayan saltos en su gráfica, no debe de tener picos, puntos angulosos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, derivable por la derecha en a y derivable por la izquierda en b.

Función derivada

La función derivada de una función f(x) es otra función, a la que llamaremos f’(x). f(x) puede ser derivable en todo su dominio o no.

La función derivada de f(x) será f’(x), la cual relacionará cada número real x₀ del dominio con el valor de la derivada de f(x) en x₀, es decir, con cada valor de f’(x₀).

La función se representa por la expresión:

Tabla de derivadas

La tabla de derivadas que figura a continuación muestra las derivadas de las llamadas funciones elementales. Son las derivadas de diversos tipos de funciones, como la función identidad, la función potencia, la función exponencial, la función logaritmica, o las funciones trigonométricas.

Al lado de las derivadas de cada función elemental figura la derivada de su correspondiente función compuesta.

Derivada implícita

La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.

Una función implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.

No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner la función en forma explícita. Puede ser por la misma forma de la función o porque las dos variables estén dentro del argumento, tal como:

Muchas ecuaciones formuladas de forma implícita sí que se pueden transformar en forma explícita, aunque se pueden derivar sin necesidad de ser transformadas:

Al derivar implícitamente se considera x como la variable independiente, mientras que a y se le considera una función.

Derivadas inmediatas

Las derivadas inmediatas son las derivadas de las llamadas funciones elementales. Son las derivadas de diversos tipos de funciones, como la derivada de la función identidad, la derivada de la función potencia, la derivada de la función exponencial, la derivada de la función logaritmica, o la derivada de las funciones trigonométricas, etc.

Derivada de una constante

La derivada de una constante (o derivada de la función constante) es cero:

Derivada de x

La derivada de x (o derivada de la función identidad) es la unidad, es decir, 1:

La representación gráfica de la función identidad es:

Derivada de un polinomio

La derivada de un polinomio o derivada de una función polinómica, es la derivada de una función del tipo:

Su derivada es, como fórmula general:

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia (o función potencial) en su expresión simple es:

La derivada de la función potencial simple xⁿ es el resultado de multiplicar el exponente n por la base x elevada al exponente menos 1 (elevada a n – 1). Es el mismo procedimiento que el de la derivada de funciones polinómicas, pero aquí con un único término potencial, siendo la base la variable independiente.

Un caso singular sería cuando el exponente es la unidad, es decir, la derivada de la función identidad:

Derivada de una raíz

La derivada de una raíz (también llamada función radical o función irracional), en su expresión simple es:

La derivada de la función radical simple es el resultado de dividir la unidad por el producto del índice de la raíz n por otra función radical, pero esta vez del radicando x elevada al exponente menos 1 (a n – 1).

Vista la derivada de la función radical simple, la derivada de una función radical compuesta, que es aquella en que la función contenida en el radicando (bajo la raíz) f(x) sea una función derivable, será la siguiente:

Derivadas logarítmicas

Las derivadas logarítmicas de una función logarítmica en su expresión simple, (por defecto, logaritmo neperiano), es:

La función logarítmica de x es derivable en los reales positivos. Su derivada es igual a la unidad partido por x.

Estas son las gráficas de la función logarítmica y de su función derivada:

Si se trata de la derivada de un logaritmo en base a de x, pueden ser cualquiera de estas dos expresiones:

Vista la derivada de la función logarítmica elemental, la derivada de una función compuesta por el logaritmo de una función derivable se obtendrá aplicando la regla de la cadena:

La derivada del logaritmo neperiano de una función derivable f(x) es otra función resultado de dividir la derivada de aquella función por la función f(x).

Análogamente, siendo f(x) una función derivable, la derivada del logaritmo en base a de f(x) es igual a:

Derivada exponencial

La derivada exponencial, en particular la derivada de la función exponencial en su expresión simple e^x, es:

Si cambia la base en la forma simple y ahora la función es a^x, su derivada será:

Estas son las gráficas, en el segundo caso a^x, de la función exponencial y de su función derivada:

La derivada de la función exponencial e^x es esa misma función. La derivada de la función exponencial simple de la forma a^x es la misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base a.

Vista la derivada de la función exponencial simple, en sus dos formas, de la derivada de una función exponencial compuesta, siendo el exponente una función derivable, se obtendrán sus derivadas aplicando la regla de la cadena:

Derivada potencial-exponencial

Para la derivada de la función potencial-exponencial:

Corresponde aplicar la siguiente fórmula (siempre en el dominio en donde ambas funciones, la de la base y la del exponente, estén definidas y que la base no sea negativa, porque no tendría sentido):

Derivadas trigonométricas

Las derivadas de las funciones trigonométricas se obtienen de las seis funciones trigonométricas básicas:

Derivada del seno

La derivada del seno es el coseno:

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el seno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Derivada del coseno

La derivada del coseno es menos el

seno:

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el coseno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Derivada de la tangente

La derivada de la tangente se obtiene indistintamente con estas tres fórmulas equivalentes:

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la tangente, mediante la regla de la cadena, se usan estas tres fórmulas igualmente equivalentes:

Y de las tres funciones trigonométricas anteriores se derivan sus funciones trigonométricas recíprocas, correspondientes, que son el inverso multiplicativo de las tres primeras:

Derivada de la cosecante

La derivada de la cosecante se obtiene indistintamente de una de estas dos expresiones equivalentes:

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la cosecante, emplearemos la regla de la cadena. Se usan estas dos fórmulas trigonométricamente equivalentes:

Derivada de la secante

La derivada de la secante se obtiene de esta expresión:

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la secante, emplearemos la derivada de un cociente, obteniendo estas dos expresiones equivalentes:

Derivada de la cotangente

La derivada de la cotangente se obtiene de una de estas tres expresiones equivalentes trigonométricamente:

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la cotangente, emplearemos la derivada de un cociente, para obtener estas tres expresiones equivalentes:

Derivadas trigonométricas inversas

Y las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, simples o compuestas, se muestran en este cuadro:

Derivada del arcoseno

La derivada del arcoseno es:

La derivada de una función compuesta del arcoseno, z(x)

Derivada del arcocoseno

La derivada del arcocoseno es:

La derivada de una función compuesta del arcocoseno, z(x):

Derivada de la arcotangente

La derivada de la arcotangente es:

La derivada de una función compuesta del arcotangente:

Reglas de derivación

Las reglas de derivación, (a veces denominadas teoremas de derivación) permiten la obtención de la derivada en el caso de funciones compuestas.

Derivada de la suma

La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función sumando:

Derivada de la resta

La derivada de la resta de funciones es la resta de las derivadas de cada término:

Derivada del producto

La derivada de un producto de dos funciones es:

La fórmula de la derivada del producto de tres funciones (f, g y h) es:

Y por la propiedad asociativa del producto, es la siguiente:

Derivada del cociente

La derivada de una función cociente de dos funciones:

Regla de la cadena

La regla de la cadena trata de la derivada de la composición de funciones. Del tipo:

La regla de la cadena consiste en que la derivada de la función compuesta es:

La regla de la cadena es válida también para la derivada de la composición de tres o más funciones:

Derivada de la función inversa

La derivada de la función inversa f^-1 se puede obtener a partir de la derivada de una función compuesta de f:

Es un procedimiento para obtener la derivada de la función inversa f^-1, sabiendo previamente la derivada de la función original f.

El símbolo de la función inversa es:

No confundir el símbolo de la función inversa con un exponente negativo. En algunos textos, a la función inversa se le llama h(x) como equivalente a f^-1.

La derivada de la función inversa f^-1 de f es el inverso multiplicativo de la derivada f’[f^-1(x)] de la composición en la propia función, es decir, son funciones recíprocas.

Teoremas de las derivadas

Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto, de continuidad.

Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para el que f(c) = 0.

El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:

Corolario:

Si una función tiene más de una raíz real, entonces entre dos raíces consecutivas la función toma valores o positivos o negativos:

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)

El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio.

Los tres últimos teoremas son como un “paquete”, una unidad de concepto, puesto que cada uno es un caso particular del siguiente.

El teorema de Cauchy se emplea para demostrar, entre otros, el teorema de l’Hôpital, básico para resolver ciertos límites indeterminados.

Segunda derivada

La segunda derivada, a la que llamaremos f’’(x), es una nueva función que se obtiene cuando se deriva (caso de que sea derivable) la función derivada f’(x) (a la que aquí llamaremos derivada primera) de la función inicial f(x).

Derivando reiteradamente (siempre que sigan siendo derivables), obtendremos nuevas funciones, llamadas derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. A partir de la derivada tercera f’’’(x), se suele usar la notación:

La derivada segunda se utiliza en análisis matemático para casos como determinar los máximos y mínimos, la curvatura (concavidad y convexidad), los puntos de inflexión o resolver problemas de optimización.

Aplicaciones de las derivadas

Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones.

• La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de una función en un intervalo. La curvatura de un intervalo de una función, los puntos de inflexión, el máximo o el mínimo de un intervalo de una función. Ver si se trata de extremos absolutos o relativos.
• La aplicación de la regla de l’Hôpital para la resolución de determinados casos de límites indeterminados.
• Estudiar las tasas de variación.
• Teoremas de Rolle, del Valor Medio y de Cauchy.
• Resolver problemas de optimización.
• Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o hallar aproximadamente los valores de una función.

Diferencial de una función

La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a.

Sabemos que la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo de la recta tangente a ese punto con el eje de abscisas.

Veamos la figura:

Puesto que:

En general, cuando Δx es pequeño, la diferencial df(x) SR es una buena aproximación del incremento de la función Δf(x) SB.

Es decir que la diferencial de una función en un punto, cuyo símbolo es dy o df(x), es el producto de la derivada de la función en ese punto por la diferencial o incremento de la variable x.

Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo indica que la derivación de una función y la integración de una función son operaciones inversas.

Esto significa que si se integra una función continua y acotada, integrable en este intervalo, y luego se deriva integral resultante, obtenemos la función original.

Es decir, son dos operaciones inversas.

Si llamamos a la función f(x) a su integral F(x) y a la derivada de esta integral F’(x), se verifica que:

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en este caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un pequeño cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la variable x).

Utilizaremos el símbolo ∂ para distinguirlo del símbolo d, que es el que indica un pequeño cambio en el caso de las funciones ordinarias.

Las derivadas parciales de una función multivariable las definiremos también mediante un límite, si este límite existiera, haciendo extensiva la definición de una derivada ordinaria.

Se procederá a derivar empleando las reglas de derivación conocidas en las derivadas ordinarias.

Derivada implícita

Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.

La derivación implícita se ha visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo: