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Derivadas

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Las derivadas desempeñan un papel muy importante en las matemáticas, la física, la ingeniería o las ciencias sociales. Describe la rapidez con la que varía una determinada función cuando varían sus variables independientes.

El cálculo de la derivada de una función entra dentro del cálculo infinitesimal junto al cálculo integral.

La noción de derivada de una función matemática f(x) está estrechamente relacionada con la de límite.

Son muchas las aplicaciones de la derivada. La derivada es fundamental para hallar máximos y mínimos, crecimiento o decrecimiento de una función la aplicación de la regla de l’Hôpital para el cálculo de determinados límites, etc.

Derivada de una función en un punto

Sea a un punto de un intervalo abierto I en el que está definida la función f(x). Cuando la variable independiente x pasa del valor a a otro x1, la variable x habrá experimentado una variación Δx  = x1 – a. A este incremento se le suele llamar también h. Entonces se produce un incremento en el valor de la función, es decir, en la variable dependiente Δ y = f(a + Δx) – f(a).

Si el incremento Δx se va haciendo infinitamente pequeño, acercándose hacia la el valor de la abscisa a, ya podemos introducir la definición del concepto de derivada de una función f(x) en el punto para el que x = a. Designada f’(a), la derivada es el límite, si es que existe, de este cociente:

Fórmula de la derivada de una función en un punto

La derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea T.V.I.(a).

La derivada en un punto es un número real y puede ser negativa, positiva o nula.

Si el límite no existiera, incluso en el caso de que fuese infinito, entonces f(x) no sería derivable en a.

Pero si la función f(x) admite derivada en a, se dice que f(x) es derivable en a.

Y si la función f(x) admitiera derivada en un intervalo abierto I, se dice que f(x) es derivable en I.

Cuando existe f’(a), entonces f(x) es continua en a.

La expresión de la derivada en atambién se puede escribir de esta manera:

Expresión 1 de la derivada de una función

O, también, la menos empleada notación de Leibniz:

Expresión 2 de la derivada de una función

Y otras expresiones equivalentes.

Interpretación geométrica de la derivada

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Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx]. Es el siguiente cociente:

Fórmula de la tasa de variación media

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δ x, es decir, la tangente del ángulo α:

Representación de la tasa de variación media

O, lo que es lo mismo:

Fórmula 2 de la tasa de variación media

Si hacemos Δ x cada vez menor, de manera que tienda a cero, los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx tienden a confundirse en un punto.

De esta manera, la recta secante anterior, en el límite pasa a ser la tangente a la gráfica de la función en (a, f(a)), es decir, la tangente del ángulo α:

Resultado del ejercicio 1

Sabiendo la derivada, o lo que es lo mismo, la tangente del ángulo que forma la recta tangente, se puede obtener la ecuación de dicha recta, como se verá en el ejercicio.

Esta interpretación geométrica de la derivada ilustra la no derivabilidad en un punto anguloso, como en el caso, el (0, 0) de la imagen, punto donde no se puede trazar una única tangente. No hay derivada en ese punto.

Punto anguloso en la interpretación geométrica de la derivada

Como se ha dicho, la derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea en ese punto: T.V.I.(a).

Derivadas laterales

Las derivadas laterales permiten saber si una función tiene derivada en un punto. Y también si existe la función derivada.

Dado que la derivada en un punto de una función es el límite de la tasa de variación media en dicho punto, igualmente se pueden estudiar si existen en él los limites laterales. De esa manera aparece la noción de las derivadas laterales.

La derivada por la izquierda en el punto a del dominio de f(x), es el siguiente límite, si este existe:

Fórmula de la derivada por la izquierda

Como se ve en la figura:

Gráfica de la derivada por la izquierda

La derivada por la derecha en el punto a del dominio de f(x), es el siguiente límite, si este existe:

Fórmula de la derivada por la derecha

Como se puede observar en la figura:

Gráfica de la derivada por la derecha

La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha y ambas derivadas laterales son iguales:

Fórmula de la función derivable por las derivadas laterales

Derivabilidad y continuidad

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La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha de a y ambas derivadas laterales son iguales.

La continuidad de una función o de uno de sus intervalos no indica que ésta sea necesariamente derivable.

Contrariamente, toda función o intervalo de función que sea derivable sí que es continua.

Cuando en un punto de una función no hay continuidad no tiene sentido hallar la derivada en ese punto.

La continuidad de una función en un punto, en un intervalo, o en todo su dominio, es una condición necesaria, pero no suficiente para que ésta sea derivable.

En lenguaje no formal, para que una función sea derivable, además de que no hayan saltos en su gráfica, no debe de tener picos, puntos angulosos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, derivable por la derecha en a y derivable por la izquierda en b.

Función derivada

La función derivada de una función f(x) es otra función, a la que llamaremos f’(x). f(x) puede ser derivable en todo su dominio o no.

La función derivada de f(x) será f’(x), la cual relacionará cada número real x0 del dominio con el valor de la derivada de f(x) en x0, es decir, con cada valor de f’(x0).

La función se representa por la expresión:

Fórmula de la función derivada

Tabla de derivadas

La tabla de derivadas que figura a continuación muestra las derivadas de las llamadas funciones elementales. Son las derivadas de diversos tipos de funciones, como la función identidad, la función potencia, la función exponencial, la función logaritmica, o las funciones trigonométricas.

Al lado de las derivadas de cada función elemental figura la derivada de su correspondiente función compuesta.

Tabla de las derivadas más importantes

Derivada implícita

La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.

Una función implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.

No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner la función en forma explícita. Puede ser por la misma forma de la función o porque las dos variables estén dentro del argumento, tal como:

Derivada implícita con variables dentro del argumento

Muchas ecuaciones formuladas de forma implícita sí que se pueden transformar en forma explícita, aunque se pueden derivar sin necesidad de ser transformadas:

Función en forma implícita

Al derivar implícitamente se considera x como la variable independiente, mientras que a y se le considera una función.

Derivadas inmediatas

Las derivadas inmediatas son las derivadas de las llamadas funciones elementales. Son las derivadas de diversos tipos de funciones, como la derivada de la función identidad, la derivada de la función potencia, la derivada de la función exponencial, la derivada de la función logaritmica, o la derivada de las funciones trigonométricas, etc.

Derivada de una constante

La derivada de una constante (o derivada de la función constante) es cero:

Fórmula de la derivada de una constante

Derivada de x

La derivada de x (o derivada de la función identidad) es la unidad, es decir, 1:

Fórmula de la derivada de x

La representación gráfica de la función identidad es:

Gráfica de la función identidad

Derivada de un polinomio

La derivada de un polinomio o derivada de una función polinómica, es la derivada de una función del tipo:

Fórmula de un polinomio

Su derivada es, como fórmula general:

Fórmula de la derivada de un polinomio

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia (o función potencial) en su expresión simple es:

Fórmula de la derivada de una potencia

La derivada de la función potencial simple xn es el resultado de multiplicar el exponente n por la base x elevada al exponente menos 1 (elevada a n – 1). Es el mismo procedimiento que el de la derivada de funciones polinómicas, pero aquí con un único término potencial, siendo la base la variable independiente.

Un caso singular sería cuando el exponente es la unidad, es decir, la derivada de la función identidad:

Fórmula de la derivada de la función identidad

Derivada de una raíz

La derivada de una raíz (también llamada función radical o función irracional), en su expresión simple es:

Fórmula de la derivada de una raíz

La derivada de la función radical simple es el resultado de dividir la unidad por el producto del índice de la raíz n por otra función radical, pero esta vez del radicando x elevada al exponente menos 1 (a n – 1).

Vista la derivada de la función radical simple, la derivada de una función radical compuesta, que es aquella en que la función contenida en el radicando (bajo la raíz) f(x) sea una función derivable, será la siguiente:

Fórmula de la derivada de una función radical compuesta

Derivadas logarítmicas

Las derivadas logarítmicas de una función logarítmica en su expresión simple, (por defecto, logaritmo neperiano), es:

Fórmula de las derivadas logarítmicas

La función logarítmica de x es derivable en los reales positivos. Su derivada es igual a la unidad partido por x.

Estas son las gráficas de la función logarítmica y de su función derivada:

Gráfica de la derivada logarítmica

Si se trata de la derivada de un logaritmo en base a de x, pueden ser cualquiera de estas dos expresiones:

Expresiones de las derivadas logarítmicas

Vista la derivada de la función logarítmica elemental, la derivada de una función compuesta por el logaritmo de una función derivable se obtendrá aplicando la regla de la cadena:

Fórmula de las derivada logarítmica compuesta

La derivada del logaritmo neperiano de una función derivable f(x) es otra función resultado de dividir la derivada de aquella función por la función f(x).

Análogamente, siendo f(x) una función derivable, la derivada del logaritmo en base a de f(x) es igual a:

Fórmula de la derivada del logaritmo en base a

Derivada exponencial

La derivada exponencial, en particular la derivada de la función exponencial en su expresión simple ex, es:

Fórmula de la derivada exponencial simple

Si cambia la base en la forma simple y ahora la función es ax, su derivada será:

Fórmula de la derivada exponencial con diferente base

Estas son las gráficas, en el segundo caso ax, de la función exponencial y de su función derivada:

Gráfica de la derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ex es esa misma función. La derivada de la función exponencial simple de la forma ax es la misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base a.

Vista la derivada de la función exponencial simple, en sus dos formas, de la derivada de una función exponencial compuesta, siendo el exponente una función derivable, se obtendrán sus derivadas aplicando la regla de la cadena:

Fórmula de la derivada de la función exponencial compuesta

Derivada potencial-exponencial

Para la derivada de la función potencial-exponencial:

Fórmula de la función potencial exponencial

Corresponde aplicar la siguiente fórmula (siempre en el dominio en donde ambas funciones, la de la base y la del exponente, estén definidas y que la base no sea negativa, porque no tendría sentido):

Fórmula de la derivada potencial exponencial

Derivadas trigonométricas

Las derivadas de las funciones trigonométricas se obtienen de las seis funciones trigonométricas básicas:

Derivada del seno

La derivada del seno es el coseno:

Fórmula de la derivada del seno

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el seno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Fórmula de la derivada del seno por composición de funciones

Derivada del coseno

La derivada del coseno es menos el

seno:

Fórmula de la derivada del coseno

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el coseno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Fórmula de la derivada del coseno por composición de funciones

Derivada de la tangente

La derivada de la tangente se obtiene indistintamente con estas tres fórmulas equivalentes:

Fórmula de la derivada de la tangente

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la tangente, mediante la regla de la cadena, se usan estas tres fórmulas igualmente equivalentes:

Fórmula de la derivada de la tangente por composición de funciones

Y de las tres funciones trigonométricas anteriores se derivan sus funciones trigonométricas recíprocas, correspondientes, que son el inverso multiplicativo de las tres primeras:

Derivada de la cosecante

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La derivada de la cosecante se obtiene indistintamente de una de estas dos expresiones equivalentes:

Fórmula de la derivada de la cosecante

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la cosecante, emplearemos la regla de la cadena. Se usan estas dos fórmulas trigonométricamente equivalentes:

Fórmula de la derivada de la cosecante por composición de funciones

Derivada de la secante

La derivada de la secante se obtiene de esta expresión:

Fórmula de la derivada de la secante

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la secante, emplearemos la derivada de un cociente, obteniendo estas dos expresiones equivalentes:

Fórmula de la derivada de la secante por composición de funciones

Derivada de la cotangente

La derivada de la cotangente se obtiene de una de estas tres expresiones equivalentes trigonométricamente:

Fórmula de la derivada de la cotangente

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la cotangente, emplearemos la derivada de un cociente, para obtener estas tres expresiones equivalentes:

Fórmula de la derivada de la cotangente por composición de funciones

Derivadas trigonométricas inversas

Y las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, simples o compuestas, se muestran en este cuadro:

Enunciado del ejercicio 1

Derivada del arcoseno

La derivada del arcoseno es:

Fórmula de la derivada del arcoseno

La derivada de una función compuesta del arcoseno, z(x)

Fórmula de la derivada del arcoseno por composición de funciones

Derivada del arcocoseno

La derivada del arcocoseno es:

Fórmula de la derivada del arcocoseno

La derivada de una función compuesta del arcocoseno, z(x):

Fórmula de la derivada del arcocoseno por composición de funciones

Derivada de la arcotangente

La derivada de la arcotangente es:

Fórmula de la derivada de la arcotangente

La derivada de una función compuesta del arcotangente:

Fórmula de la derivada de la arcotangente por composición de funciones

Reglas de derivación

Las reglas de derivación, (a veces denominadas teoremas de derivación) permiten la obtención de la derivada en el caso de funciones compuestas.

Derivada de la suma

La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función sumando:

Fórmula de las derivadas de la suma

Derivada de la resta

La derivada de la resta de funciones es la resta de las derivadas de cada término:

Fórmula de las derivadas de la resta

Derivada del producto

La derivada de un producto de dos funciones es:

Fórmula de la derivada de un producto de funciones

La fórmula de la derivada del producto de tres funciones (f, g y h) es:

Producto de tres funciones

Y por la propiedad asociativa del producto, es la siguiente:

Fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones

Derivada del cociente

La derivada de una función cociente de dos funciones:

Fórmula de la derivada de un cociente de funciones

Regla de la cadena

La regla de la cadena trata de la derivada de la composición de funciones. Del tipo:

Fórmula de la composición de funciones

La regla de la cadena consiste en que la derivada de la función compuesta es:

Fórmula de la regla de la cadena

La regla de la cadena es válida también para la derivada de la composición de tres o más funciones:

Fórmula de la regla de la cadena para tres funciones

Derivada de la función inversa

La derivada de la función inversa f-1 se puede obtener a partir de la derivada de una función compuesta de f:

Fórmula de la derivada de la función inversa

Es un procedimiento para obtener la derivada de la función inversa f-1, sabiendo previamente la derivada de la función original f.

El símbolo de la función inversa es:

Símbolo de la derivada de la función inversa

No confundir el símbolo de la función inversa con un exponente negativo. En algunos textos, a la función inversa se le llama h(x) como equivalente a f-1.

La derivada de la función inversa f-1 de f es el inverso multiplicativo de la derivada f’[f-1(x)] de la composición en la propia función, es decir, son funciones recíprocas.

Teoremas de las derivadas

Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto, de continuidad.

Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para el que f(c) = 0.

Fórmula del teorema de Bolzano

El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:

Gráfica del teorema de Bolzano

Corolario:

Si una función tiene más de una raíz real, entonces entre dos raíces consecutivas la función toma valores o positivos o negativos:

Corolario en el teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.

Gráfica del teorema de Rolle

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)

El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:

Fórmula del teorema del Valor Medio

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Gráfica del teorema del Valor Medio

Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

Fórmula del teorema de Cauchy

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

Constante del teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio.

Los tres últimos teoremas son como un “paquete”, una unidad de concepto, puesto que cada uno es un caso particular del siguiente.

El teorema de Cauchy se emplea para demostrar, entre otros, el teorema de l’Hôpital, básico para resolver ciertos límites indeterminados.

Segunda derivada

La segunda derivada, a la que llamaremos f’’(x), es una nueva función que se obtiene cuando se deriva (caso de que sea derivable) la función derivada f’(x) (a la que aquí llamaremos derivada primera) de la función inicial f(x).

Fórmula de la segunda derivada de una función

Derivando reiteradamente (siempre que sigan siendo derivables), obtendremos nuevas funciones, llamadas derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. A partir de la derivada tercera f’’’(x), se suele usar la notación:

Fórmula de las derivadas sucesivas

La derivada segunda se utiliza en análisis matemático para casos como determinar los máximos y mínimos, la curvatura (concavidad y convexidad), los puntos de inflexión o resolver problemas de optimización.

Aplicaciones de las derivadas

Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones.

Diferencial de una función

La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a.

Sabemos que la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo de la recta tangente a ese punto con el eje de abscisas.

Veamos la figura:

Gráfico de la diferencial de una función

Puesto que:

Fórmula de la diferencial de una función

En general, cuando Δx es pequeño, la diferencial df(x) SR es una buena aproximación del incremento de la función Δf(x) SB.

Es decir que la diferencial de una función en un punto, cuyo símbolo es dy o df(x), es el producto de la derivada de la función en ese punto por la diferencial o incremento de la variable x.

Fórmuladel incremento en la diferencial de una función

Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo indica que la derivación de una función y la integración de una función son operaciones inversas.

Esto significa que si se integra una función continua y acotada, integrable en este intervalo, y luego se deriva integral resultante, obtenemos la función original.

Es decir, son dos operaciones inversas.

Si llamamos a la función f(x) a su integral F(x) y a la derivada de esta integral F’(x), se verifica que:

Fórmula del teorema Fundamental del Cálculo

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en este caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un pequeño cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la variable x).

Utilizaremos el símbolo para distinguirlo del símbolo d, que es el que indica un pequeño cambio en el caso de las funciones ordinarias.

Las derivadas parciales de una función multivariable las definiremos también mediante un límite, si este límite existiera, haciendo extensiva la definición de una derivada ordinaria.

Fórmula de las derivadas parciales

Se procederá a derivar empleando las reglas de derivación conocidas en las derivadas ordinarias.

Derivada implícita

Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.

La derivación implícita se ha visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:

Cálculo de la derivada implícita por derivadas parciales

AUTOR: Bernat Requena Serra


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2 comentarios en “Derivadas”

    1. Bernat Requena Serra

      Hola,
      Deberías en la cita poner la url de la web y el autor. El autor lo tienes al final de cada entrada.
      Un saludo.

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