La derivada permite estudiar si una función es creciente en un intervalo o en todo su recorrido.
Los criterios para establecer la monotonía en una función (o en sus intervalos) mediante la derivada son los siguientes:
Esta es una función exponencial monótona estrictamente creciente con la función derivada positiva en todo el dominio:
Para los casos de crecimiento estricto o decrecimiento estricto, puede ocurrir que la condición contraria no se verifique, es decir que la función sea estrictamente creciente aunque en algún punto se anule su derivada. Veamos un caso:
Es una función estrictamente creciente, porque su derivada es positiva aunque hay un punto en que se anula, ya que es creciente a la izquierda y a la derecha de ese punto.
Y este gráfico se corresponde con una función creciente (no estrictamente creciente) porque, aunque en un intervalo la derivada sea nula, en ningún punto cambia de signo, de positiva a negativa.
Para hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función se realizará el siguiente procedimiento:
- Derivar la función, obteniendo f’(x).
- Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos la derivada sea f’(x) = 0.
- Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
- Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.
Ejercicio
Hallar los intervalos de crecimiento de la función:
Hallamos su derivada:
La raíz de la función derivada es x = 0, que es el punto que anula a la función. A la derecha de ese punto, o sea, en el intervalo (0, +∞) la función derivada es positiva (f’(x) > 0). En ese intervalo, la función f(x) es estrictamente creciente.
Se ve en la figura: