Derivadas y crecimiento - Universo Formulas

Derivadas y crecimiento

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La derivada permite estudiar si una función es creciente en un intervalo o en todo su recorrido.

Los criterios para establecer la monotonía en una función (o en sus intervalos) mediante la derivada son los siguientes:

Cuadro de la monotonía de una función

Esta es una función exponencial monótona estrictamente creciente con la función derivada positiva en todo el dominio:

Ejemplo de una función monótona

Para los casos de crecimiento estricto o decrecimiento estricto, puede ocurrir que la condición contraria no se verifique, es decir que la función sea estrictamente creciente aunque en algún punto se anule su derivada. Veamos un caso:

Ejemplo 2 de una función monótona

Es una función estrictamente creciente, porque su derivada es positiva aunque hay un punto en que se anula, ya que es creciente a la izquierda y a la derecha de ese punto.

Y este gráfico se corresponde con una función creciente (no estrictamente creciente) porque, aunque en un intervalo la derivada sea nula, en ningún punto cambia de signo, de positiva a negativa.

Ejemplo de función creciente mediante derivadas

Para hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función se realizará el siguiente procedimiento:

  1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
  2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos la derivada sea f’(x) = 0.
  3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
  4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.

Ejercicio

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Hallar los intervalos de crecimiento de la función:

Enunciado del ejercicio 1

Hallamos su derivada:

Derivada del ejercicio 1

La raíz de la función derivada es x = 0, que es el punto que anula a la función. A la derecha de ese punto, o sea, en el intervalo (0, +∞) la función derivada es positiva (f’(x) > 0). En ese intervalo, la función f(x) es estrictamente creciente.

Se ve en la figura:

Gráfica del ejercicio 1

AUTOR: Bernat Requena Serra


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