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Derivada del coseno

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La derivada del coseno es menos el

seno:

Fórmula de la derivada del coseno

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el coseno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Fórmula de la derivada del coseno por composición de funciones

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con el coseno:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada se hallará, como se ha dicho, aplicando la regla de la cadena:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

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Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta con el coseno:

Enunciado del ejercicio 2

Por el mismo procedimiento que el del ejercicio 1:

Resultado del ejercicio 2

Demostración de la derivada del coseno

Para demostrar la fórmula, recurriremos a la definición de la derivada:

Fórmula de la definición de derivada

Como aquí f(x) es la función cos(x):

Definición de la fórmula en la demostración de la derivada del coseno

Inicialmente, este límite nos lleva a una indeterminación al aparecer una fracción dividida por cero, tendremos que hacer alguna transformación. Recordamos las razones trigonométricas del ángulo suma, en lo referente al coseno de la suma de dos ángulos:

Indeterminación en la demostración de la derivada

Aplicamos el ángulo suma al numerador de la fracción anterior de la derivada del coseno:

Numerador en la demostración de la derivada

Ahora transformamos la fracción del límite en suma de dos fracciones con común denominador. Hacemos factor común cos(x) en la primera fracción.

Factor común en la demostración de la derivada

Aplicamos, según las propiedades de los límites, la que el límite de una resta es la resta de los límites.

Límite en la demostración de la derivada

Sacamos fuera de los dos límites los factores sen(x) y cos(x), por no estar afectados por Δx → 0.

Factores en la demostración de la derivada

En el primer sumando el límite vale cero y en el segundo límite, según el cálculo de límites por funciones equivalentes, en concreto por infinitésimos equivalentes vale la unidad.

Aplicando el resultado de estos límites, queda demostrada la derivada del coseno:

Final en la demostración de la derivada

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