Cargando...La derivada del coseno es menos el
seno:
Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el coseno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con el coseno:
La derivada se hallará, como se ha dicho, aplicando la regla de la cadena:
Ejercicio 2
Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta con el coseno:
Por el mismo procedimiento que el del ejercicio 1:
Demostración de la derivada del coseno
Para demostrar la fórmula, recurriremos a la definición de la derivada:
Como aquí f(x) es la función cos(x):
Inicialmente, este límite nos lleva a una indeterminación al aparecer una fracción dividida por cero, tendremos que hacer alguna transformación. Recordamos las razones trigonométricas del ángulo suma, en lo referente al coseno de la suma de dos ángulos:
Aplicamos el ángulo suma al numerador de la fracción anterior de la derivada del coseno:
Ahora transformamos la fracción del límite en suma de dos fracciones con común denominador. Hacemos factor común cos(x) en la primera fracción.
Aplicamos, según las propiedades de los límites, la que el límite de una resta es la resta de los límites.
Sacamos fuera de los dos límites los factores sen(x) y cos(x), por no estar afectados por Δx → 0.
En el primer sumando el límite vale cero y en el segundo límite, según el cálculo de límites por funciones equivalentes, en concreto por infinitésimos equivalentes vale la unidad.
Aplicando el resultado de estos límites, queda demostrada la derivada del coseno:
