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Derivada del arcoseno

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La derivada del arcoseno es:

Fórmula de la derivada del arcoseno

La función arcoseno es la función inversa de la función seno tal que, por definición:

Definición del arcoseno

Como las razones trigonométricas no son funciones porque son cíclicas, se restringe el dominio para que sean estrictamente crecientes o decrecientes. Existe la función inversa del seno porque la función seno es inyectiva.

La función arcoseno es creciente y biyectiva pues se restringe el dominio a [-1, 1].

La derivada del arcoseno es la derivada de la función inversa de la función seno.

Vista la derivada de la función elemental, la derivada de una función compuesta del arcoseno, z(x), se obtiene, aplicando la regla de la cadena:

Fórmula de la derivada del arcoseno por composición de funciones

La derivada del arcoseno de una función f(x)es igual a la derivada de esa función dividida por la raíz cuadrada de uno menos la función al cuadrado.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada del arcoseno de la función f(x) = 2x³.

Enunciado del ejercicio 1

Operamos:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

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Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:

Enunciado del ejercicio 2

Y este es el resultado.

Demostracion de la derivada del arcoseno

El arcoseno es una función inversa. Como se ha visto en una función inversa, su composición con la función originaria es la función identidad.

Función inversa en la demostración de la derivada de la función arcoseno

No hay inconveniente en que podamos escribir, dándole la vuelta a la función inversa:

Función inversa 2 en la demostración

Vamos a derivar ambos términos, sabiendo que y es una función de x, precisamente su arcoseno. Vimos la derivada de la función compuesta del seno:

Fórmula de la derivada del seno por composición de funciones

Procedemos a derivar, con los nombres que les hemos asignado a las variables, despejando la derivada que buscamos: y’.

Derivar y en la demostración

Vayamos por un momento a la identidad fundamental de la trigonometría, despejando la cos y:

Coseno y en la demostración

Como antes, al dar la vuelta a la función inversa, se ha dejado sen y = x, será lo mismo escribir:

Seno y en la demostración

Trasladamos este valor del coseno al denominador de la derivada y’ visto antes:

Resultado en la demostración

Y queda demostrada la derivada del arcoseno.

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