Cargando...La derivada del arcoseno es:
La función arcoseno es la función inversa de la función seno tal que, por definición:
Como las razones trigonométricas no son funciones porque son cíclicas, se restringe el dominio para que sean estrictamente crecientes o decrecientes. Existe la función inversa del seno porque la función seno es inyectiva.
La función arcoseno es creciente y biyectiva pues se restringe el dominio a [-1, 1].
La derivada del arcoseno es la derivada de la función inversa de la función seno.
Vista la derivada de la función elemental, la derivada de una función compuesta del arcoseno, z(x), se obtiene, aplicando la regla de la cadena:
La derivada del arcoseno de una función f(x)es igual a la derivada de esa función dividida por la raíz cuadrada de uno menos la función al cuadrado.
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada del arcoseno de la función f(x) = 2x³.
Operamos:
Ejercicio 2
Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:
Y este es el resultado.
Demostracion de la derivada del arcoseno
El arcoseno es una función inversa. Como se ha visto en una función inversa, su composición con la función originaria es la función identidad.
No hay inconveniente en que podamos escribir, dándole la vuelta a la función inversa:
Vamos a derivar ambos términos, sabiendo que y es una función de x, precisamente su arcoseno. Vimos la derivada de la función compuesta del seno:
Procedemos a derivar, con los nombres que les hemos asignado a las variables, despejando la derivada que buscamos: y’.
Vayamos por un momento a la identidad fundamental de la trigonometría, despejando la cos y:
Como antes, al dar la vuelta a la función inversa, se ha dejado sen y = x, será lo mismo escribir:
Trasladamos este valor del coseno al denominador de la derivada y’ visto antes:
Y queda demostrada la derivada del arcoseno.