Derivada de la suma

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La derivada de la suma de funciones consiste en que si dos o más funciones son derivables en un mismo intervalo I, entonces su suma es derivable en I y la derivada de la función suma es la suma de las derivadas de cada función sumando:

Fórmula de las derivadas de la suma

Corolario: por la propiedad asociativa de la suma, se puede demostrar que la regla de la suma es extensible a cualquier número de sumandos:

Fórmula de las derivadas del sumando de varias funciones

Ejercicio

Hallar la derivada de esta suma de dos funciones:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada de la suma será la suma de las derivadas:

Resultado del ejercicio 1

Demostración de la derivada del sumando de funciones

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Para demostrar la fórmula de la derivada de la suma, recurriremos a la definición de la derivada mediante un límite:

Fórmula de la definición de derivada

Aquí tenemos la suma de dos funciones de x que es otra función de x a la que podremos llamar:

Sumando en la demostración de la derivada de la función suma

Aplicamos la fórmula de la derivada a la función z(x):

Función z(x) en la demostración de la derivada

Como z(x) es la suma de dos funciones, no hay inconveniente en transformar en:

Transformación en la demostración de la derivada

Y tampoco lo hay si se cambia la fracción del límite por la suma de dos fracciones con el mismo denominador, agrupando los términos con f y los términos con g:

Fracción en la demostración de la derivada

En las propiedades de los límites el límite de la suma es la suma de los límites:

Límite en la demostración de la derivada

O, lo que es lo mismo:

Límite 2 en la demostración de la derivada

Queda demostrado que la derivada del sumando de funciones será la suma de las derivadas.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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