Cargando...La derivada de la suma de funciones consiste en que si dos o más funciones son derivables en un mismo intervalo I, entonces su suma es derivable en I y la derivada de la función suma es la suma de las derivadas de cada función sumando:
Corolario: por la propiedad asociativa de la suma, se puede demostrar que la regla de la suma es extensible a cualquier número de sumandos:
Ejercicio
Hallar la derivada de esta suma de dos funciones:
La derivada de la suma será la suma de las derivadas:
Demostración de la derivada del sumando de funciones
Para demostrar la fórmula de la derivada de la suma, recurriremos a la definición de la derivada mediante un límite:
Aquí tenemos la suma de dos funciones de x que es otra función de x a la que podremos llamar:
Aplicamos la fórmula de la derivada a la función z(x):
Como z(x) es la suma de dos funciones, no hay inconveniente en transformar en:
Y tampoco lo hay si se cambia la fracción del límite por la suma de dos fracciones con el mismo denominador, agrupando los términos con f y los términos con g:
En las propiedades de los límites el límite de la suma es la suma de los límites:
O, lo que es lo mismo:
Queda demostrado que la derivada del sumando de funciones será la suma de las derivadas.