Máximos y mínimos de una función

Máximos y mínimos de una función

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Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Dibujo del máximo y el mínimo de una función.

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximos y mínimos absolutos

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

  • El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
    Dibujo del máximo absoluto de una función.
  • El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.
    Dibujo del mínimo absoluto de una función.

Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

Máximos y mínimos relativos

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Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.

Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.

  • La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
    Dibujo del máximo relativo de una función.

    En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si:

    Fórmula del máximo relativo de una función.

    También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente.

  • La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
    Dibujo del mínimo relativo de una función.

    En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si:

    Fórmula del mínimo relativo de una función.

    También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente.

Teorema de los valores extremos

Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo.

No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto.

Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente:

  1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
  2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0.
    Fórmula de las raíces de la derivada de la función.

    Supongamos que las raíces de f ’ son {r1, r2,…,rn}.

  3. Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula la imagen de las raíces ( f(r1) ,  f(r2) ,…, f(rn) ).
  4. El máximo y mínimo absolutos de f serán:
    Fórmula del máximo y mínimo absolutos por el teorema de los valores extremos.

Ejemplo

Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-1,5], tal que:

Ejemplo de función para el teorema de los extremos.
Dibujo de la gráfica de una función para el teorema de los extremos.

Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos.

  1. Derivamos la función, obteniendo:
    Derivada de la función para el teorema de los extremos.
  2. Hallamos las raíces de la derivada:
    Raíces de la derivada de la función para el teorema de los extremos.
  3. Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son:
    Imágenes de las raíces de la derivada de la función para el teorema de los extremos.
  4. Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán:
    Máximo y mínimo absolutos de la función para el teorema de los extremos.

    Se han comparado cuatro imágenes de la función en cuatro puntos, los dos en los que el valor de la derivada es nulo (0, 1) y (3, -12,5) con los correspondientes a los extremos del intervalo (-1, -4,5) y (5, 13,5). Resultado: máximo absoluto en el punto (5, 13,5) y mínimo absoluto en el punto (3, -12,5).


AUTOR: Bernat Requena Serra


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53 comentarios en “Máximos y mínimos de una función”

  1. Hola!!, sabes que en una función (f(x)=x^2 multiplicado por e^x) me dio que tiene limites verticales (asíntotas) en 2 y (asíntotas) horizontales en 0. Mi pregunta viene acerca de si estos números son o no mínimos y máximos de la función. gracias de antemano

    1. La respuesta es no. (Las asíntotas no pueden ser ni máximos ni mínimos)
      Consulta la página Derivada en un máximo y en un mínimo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Para que un punto sea un máximo o un mínimo de una función, la derivada primera en ese punto debe de ser cero.
      f'(x) = xex(2 + x)
      Hay un máximo en x = -2 y un mínimo en x = 0 (criterio de la segunda derivada).

  2. Los valores máximos o mínimos de una funcíón
    Seleccione una:
    1. Son los puntos críticos
    2. Son los valores de la función, calculados a partir de los puntos críticos
    3. Son los valores de la variable x donde la derivada se vuelve cero

  3. Determine los valores m´aximos y m´ınimos absolutos de la funci´on f(x,y)= 2+2x+2y-x^2-y^2 en el dominio acotado por x = 0, y = 0, y = 9 − x

    1. Consulta la página Derivada en un máximo y en un mínimo y, también, Derivada implícita y Derivadas parciales de UNIVERSO FÓRMULAS
      ∂(f(x,y) /∂(x) = -2x+2
      ∂(f(x,y) /∂(y) = -2y+2
      y’ = -(-2x+2) / (-2y+2)

  4. una pregunta, como se aria cuando la forma tengo 5 términos, un ejemplo:
    -1/4x^4+2/3x^3-1/2x^2-2x+4.
    me causa mucho conflicto eso. podrían ayudarme?

    1. Se supone que tienes una función polinómica.
      f(x) = –x4 / 4 + 2x³ / 3 –x² / 2 + 4
      Consulta la página Derivada en un máximo y en un mínimo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      La función polinómica es continua y derivable en todo su dominio (los reales).
      Primera derivada:
      f(x)’ = –x³ + 2x² x – 2
      Se iguala a cero. Su única raíz es x = 0,696
      En ese punto crítico puede haber un máximo o un mínimo.
      Segunda derivada:
      f(x)» = -3x² + 4x – 2
      f(0,696)» = -3 * 0,696² + 4 * 0,696 – 2 = -5,27
      Como
      f(0,696)» = -5,27 < 0. El punto (-0,696, 4,4,866) es el máximo de la función

    1. Consulta la página Derivada en un máximo y en un mínimo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Hay unos criterios para que en un punto haya un máximo o un mínimo, y uno de ellos és que la tangente a la curva de la funciòn sea horizontal, es decir que la pendiente de la recta tangente sea cero, que es lo mismo que decir que la derivada en ese punto sea también nula. Revísa Derivadas en UNIVERSO FÓRMULAS y lo entenderás.

    1. Consulta la página Puntos de inflexión de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Tienes un ejemplo de grado 4
      Y, en concreto, en la función que propones, f(x) = x4, no hay P.I.
      Però en otras de grado 4 hay que verlas una a una.

    1. Consulta la página Derivada en un máximo y en un mínimo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Allí se dice que:
      «Los extremos absolutos (máximos o mínimos absolutos) son los valores más grandes o más pequeños de una función f(x) bien en todo su dominio o bien de un intervalo cerrado [a, b]«.
      Si no es en todo su dominio, no puede asegurarse que los haya en un intervalo abierto.

  5. juan martinez labranche

    una duda .Para encontrar el máximo y el mínimo relativo en una función se necesita derivar mas de una vez, si la función es cubica?

    1. Efectivamente, a no ser que con el criterio de la derivada primera halles el valor de la función en el entorno de las raíces. Más eficaz es el criterio de la derivada segunda (i/o sucesivas).
      Consulta la página Derivada en un máximo y en un mínimo de UNIVERSO FÓRMULAS

    1. En el intervalo [-2π, 2π] hay dos máximos, absolutos y relativos a la vez, en ((-3/2)π, 1) y (π/2, 1) y dos mínimos, también absolutos y relativos a la vez, en (-π/2, -1) y ((3/2)π, -1).
      Consulta también las páginas Derivada en un máximo y en un mínimo y Derivada del seno en UNIVERSO FÓRMULAS.

  6. lo más probable creo yo es que te haya salido de algo así como f(x)=(1/3)x^3+x por lo que $f'(x)=x^2+1 , por tanto la derivada siempre será positiva, lo que indica que f es creciente y por tanto (suponiendo continuidad de f y definida en un intervalo cerrado acotado de la forma [a,b]), el máximo debe estar en el extremo superior del intervalo, es decir f(b).

    1. Pueden ser perfectamente las raíces de la derivada de una función 1 y -1.
      Seía el caso de f(x) = 1/3x³ – x
      Su derivada sería f'(x) =x² -1
      Sus raíces serían 1 y -1
      1 y -1 serían un máximo y un mínimo de f(x)
      Ver derivada de un polinomio en UNIVERSO FÓRMULAS

    2. lo más probable creo yo es que te haya salido de algo así como f(x)=(1/3)x^3+x por lo que $f'(x)=x^2+1 , por tanto la derivada siempre será positiva, lo que indica que f es creciente y por tanto (suponiendo continuidad de f y definida en un intervalo cerrado acotado de la forma [a,b]), el máximo debe estar en el extremo superior del intervalo, es decir f(b).

    1. Imagino que una función doble es una función de dos variables.
      Puede tener máximos, mínimos y puntos de inflexión (o puntos de silla).
      Hay que usar cálculo diferencial. Derivación implícita, derivadas parciales.
      En breve, en esta web se implementará todo el capítulo relacionado con derivadas.

    1. Dependiendo de la función, o de su intervalo considerado, puede haber uno, varios a ninguno.
      En la página tienes un ejemplo.

  7. Hola , una consulta. En caso de mi intervalo sea todo el dominio de la función ¿sólo uso las raíces para el maximo y mínimo?

    1. Cosulta máximos y minimos de una función en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Las raíces de la ecuación de la derivada de la función pueden ser máximos y mínimos tanto locales como absolutos.
      Debes compararlas con los extremos absolutos del dominio.

    1. porque probo los extremos del intervalo aparte de las raíces de la derivada, y al remplazar estos números en la función orinal, le da que 5 es el máximo absoluto y 3 el mínimo absoluto

    2. Derivando, hallamos el máximo y mínimo, que que pueden ser absolutos o relativos.
      Los hallados derivando son: máximo (0, 1) y mínimo (3, -12,5).
      Comparándolos con los extremos del intervalo, que son los puntos (-1, -4,5) y (5, 13,5), resulta que los máximos y mínimos absolutos son:
      Máximo absoluto: (5, 13,5), que es un valor extremo del intervalo.
      Mínimo absoluto: (3, -12,5), que es un valor intermedio hallado por derivación.

  8. Una consulta:

    Tu trabajas de esa manera por que te han dado los intervalos. Pero en el caso que no te dieran los intervalos de análisis. ¿Asumirías que los valores máximos y mínimos son aquellos que te arrojan la derivada = 0?

    Saludos

    1. En la página que estás consultando verás que los máximos y mínimos son los que arrojan la derivada: raíces de la derivada en x y valores de sus abscisas en f(x). El intervalo nos informa que el máximo y mínimo hallado con la derivada están en el intervalo y cuales son absolutos. (Consulta el ejemplo o ejercicio).

  9. Una duda, en lo último no comprendí como es que se determina para el máximo f(5) y para el mínimo f(3), agradería eso, el resto está muy bien explicado.

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