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Derivada de una potencia

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La derivada de una potencia (o función potencial) en su expresión simple es:

Fórmula de la derivada de una potencia

La derivada de la función potencial simple xn es el resultado de multiplicar el exponente n por la base x elevada al exponente menos 1 (elevada a n – 1). Es el mismo procedimiento que el de la derivada de funciones polinómicas, pero aquí con un único término potencial, siendo la base la variable independiente.

Un caso singular sería cuando el exponente es la unidad, es decir, la derivada de la función identidad:

Fórmula de la derivada de la función identidad

Vista la derivada de la función potencial simple, la derivada de una función potencial compuesta, en la que la base f(x) es una función derivable, será:

Fórmula de la derivada de una función potencial compuesta

La derivada de la potencia de una función f(x)n es el resultado de multiplicar el exponente por la función base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la función base.

Demostración de la derivada de una potencia

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Una forma sencilla de demostrar la fórmula de la derivada de la función potencial es recurrir a la derivada de un producto y a la inducción matemática.

Partimos de la derivada de la función identidad, que, por la misma definición de la derivada, es la unidad, porque la pendiente de la recta tangente a cualquiera de los puntos de esa función es m = 1. Luego, vamos incrementando el exponente de uno en uno para los primeros valores de n, aplicando la mencionada derivada de un producto:

Demostración de la derivada de una potencia

Y mediante la inducción matemática se ha llegado a la derivada que se quería demostrar.

Esta fórmula es igualmente aplicable para exponentes enteros negativos o cuando en el exponente tenemos una fracción.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada potencial:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta función potencial compuesta:

Solución del ejercicio 2

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