Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es una constante tomando de dos en dos los infinitos puntos que forman la recta.

Dicho de otra forma, la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X. El ángulo se forma en sentido contrario a las agujas del reloj. La pendiente la denominamos con la letra m.

Con la pendiente y un punto de la recta, queda definida la misma.

Se puede obtener la pendiente mediante los componentes cartesianos del vector director de la recta:

Desde la ecuación general de la recta, con esta fórmula:

En la ecuación explícita o principal, la pendiente es el coeficiente m de la x:

Otro procedimiento es a partir de las coordenadas de dos puntos de la recta. Es la base de la ecuación punto-punto:

Como en la imagen:

Finalmente, la pendiente también se obtiene a partir de los puntos de intersección de la recta con los ejes X e Y, los puntos a y b, que son las constantes que intervienen en la ecuación en forma simétrica:

• Si el valor de la pendiente es positivo, la recta es creciente. Va del tercer cuadrante al primero.
• Si el valor de la pendiente es negativo, la recta es decreciente. Va del segundo cuadrante al cuarto.
• Si el valor de la pendiente es cero, la recta es horizontal.

En el caso de una recta vertical, paralela al eje Y, se dice que la pendiente es indefinida. Carece de sentido ya que al dividir por cero, el resultado se llama infinito.

La pendiente permite estudiar la posición relativa entre dos rectas.

• Si las pendientes son diferentes, son rectas secantes, que se cortan:
  
• Un caso particular de pendientes diferentes son las rectas perpendiculares, cuyas pendientes han de cumplir:
  
• Y si las pendientes son iguales, estamos ante rectas paralelas.
  
• Aunque, si las ordenadas en el origen no fueran diferentes, serían rectas coincidentes.
  

Son los casos de la imagen:

El valor de la pendiente proporciona el cálculo del ángulo que forman dos rectas que se cortan. Mediante la fórmula de las razones trigonométricas del ángulo resta:

Como en la imagen:

Ejercicios

Ejercicio 1

A partir de las ecuaciones de estas rectas, determinar sus pendientes:

Solución:

Empleando el procedimiento para hallar la pendiente, según la forma de cada ecuación, se obtiene:

Ejercicio 2

Sabiendo las ecuaciones de estas dos rectas, comprobar si sus pendientes son diferentes y, en su caso, averiguar el ángulo que forman:

Solución:

La primera está en forma explícita y la segunda en forma general. Hallaremos en cada una de ellas su pendiente:

Son diferentes sus pendientes, luego son rectas secantes, se cortan. Aplicaremos la fórmula para saber el ángulo que forman:

Y este es el resultado, gráficamente: