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Pendiente de una recta

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La pendiente de una recta es una constante tomando de dos en dos los infinitos puntos que forman la recta.

Dicho de otra forma, la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X. El ángulo se forma en sentido contrario a las agujas del reloj. La pendiente la denominamos con la letra m.

Con la pendiente y un punto de la recta, queda definida la misma.

Se puede obtener la pendiente mediante los componentes cartesianos del vector director de la recta:

Fórmula de la pendiente de una recta mediante el vector director

Desde la ecuación general de la recta, con esta fórmula:

Fórmula de la pendiente de una recta mediante su ecuación general

En la ecuación explícita o principal, la pendiente es el coeficiente m de la x:

Fórmula de la pendiente de una recta mediante su ecuación explícita

Otro procedimiento es a partir de las coordenadas de dos puntos de la recta. Es la base de la ecuación punto-punto:

Fórmula de la pendiente de una recta mediante su ecuación punto-punto

Como en la imagen:

Dibujo de la pendiente de una recta mediante su ecuación punto-punto

Finalmente, la pendiente también se obtiene a partir de los puntos de intersección de la recta con los ejes X e Y, los puntos a y b, que son las constantes que intervienen en la ecuación en forma simétrica:

Dibujo de la pendiente de una recta mediante su ecuación en forma simétrica
  • Si el valor de la pendiente es positivo, la recta es creciente. Va del tercer cuadrante al primero.
  • Si el valor de la pendiente es negativo, la recta es decreciente. Va del segundo cuadrante al cuarto.
  • Si el valor de la pendiente es cero, la recta es horizontal.

En el caso de una recta vertical, paralela al eje Y, se dice que la pendiente es indefinida. Carece de sentido ya que al dividir por cero, el resultado se llama infinito.

La pendiente permite estudiar la posición relativa entre dos rectas.

  • Si las pendientes son diferentes, son rectas secantes, que se cortan:
    Restricción según las pendientes para que dos rectas sean secantes
  • Un caso particular de pendientes diferentes son las rectas perpendiculares, cuyas pendientes han de cumplir:
    Restricción según las pendientes para que dos rectas sean perpendiculares
  • Y si las pendientes son iguales, estamos ante rectas paralelas.
    Restricción 2 para que dos rectas sean paralelas
  • Aunque, si las ordenadas en el origen no fueran diferentes, serían rectas coincidentes.
    Restricción 1 para que dos rectas sean coincidentes

Son los casos de la imagen:

Dibujo de la posición relativa de dos rectas

El valor de la pendiente proporciona el cálculo del ángulo que forman dos rectas que se cortan. Mediante la fórmula de las razones trigonométricas del ángulo resta:

Fórmula de la pendiente de una recta mediante razones trigonométricas

Como en la imagen:

Dibujo de la pendiente de una recta mediante razones trigonométricas

Ejercicios

Ejercicio 1

A partir de las ecuaciones de estas rectas, determinar sus pendientes:

Enunciado del ejercicio 1 de la pendiente de una recta

Solución:

Empleando el procedimiento para hallar la pendiente, según la forma de cada ecuación, se obtiene:

Solución del ejercicio 1 de la pendiente de una recta
Dibujo del ejercicio 1 de la pendiente de una recta

Ejercicio 2

Sabiendo las ecuaciones de estas dos rectas, comprobar si sus pendientes son diferentes y, en su caso, averiguar el ángulo que forman:

Enunciado del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Solución:

La primera está en forma explícita y la segunda en forma general. Hallaremos en cada una de ellas su pendiente:

Cálculo de las pendientes de dos rectas del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Son diferentes sus pendientes, luego son rectas secantes, se cortan. Aplicaremos la fórmula para saber el ángulo que forman:

Cálculo del ángulo de dos rectas del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Y este es el resultado, gráficamente:

Dibujo del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

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