Ecuaciones de la recta

Las ecuaciones de la recta marcan la relación que deben cumplir las coordenadas de un punto para que éste pertenezca a la recta.

Estas son unas formas de las ecuaciones de la recta en el plano:

• Ecuación vectorial
• Ecuaciones paramétricas
• Ecuación continua
• Ecuación general de la recta
• Ecuación explícita
• Ecuación punto-pendiente
• Ecuación punto-punto
• Ecuación en forma simétrica

Ecuación vectorial

Sea una recta r del plano cartesiano determinada por uno de sus puntos P y un vector director de dicha recta. Si t es un número real llamado parámetro, cualquier punto de la recta X, con un vector de posición x quedará determinado por esta ecuación, llamada ecuación vectorial de la recta:

El número t representa las veces que el vector PX contiene al vector unitario. Dando valores a t obtendremos diferentes puntos X de la recta r representados por el correspondiente vector de posición de cada punto X.

La ecuación factorial arriba mostrada se forma por la suma vectorial del vector posición del punto P y el vector de cualquier punto de la recta PX. Como se ve en la siguiente figura:

La determinación vectorial de una recta tiene esta notación:

(x, y) son las coordenadas en el plano del punto X, las de P(x_p, y_p) y las del vector unitario v(v_x, v_y). Entonces la ecuación vectorial de la recta la podremos escribir también así:

Dando valores a t, el punto X puede recorrer los puntos de la recta:

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano se pueden deducir de la anterior expresión de la ecuación vectorial:

Un ejemplo de ecuaciones paramétricas sería la de una recta definida por este vector director y uno de sus puntos, por ejemplo, el P(2, 6):

Con lo que las ecuaciones paramétricas quedarían así:

Ecuación continua

Las ecuaciones continuas de la recta en el plano se desprenden de las ecuaciones paramétricas, al despejar el parámetro t e igualar los resultados.

Siguiendo el caso anterior, quedaría así:

Que indican la proporcionalidad entre las componentes cartesianas del vector PX y las componentes cartesianas correspondientes del vector unitario v.

Puede existir un cero en uno de los denominadores. Sería el caso de una recta horizontal o vertical.

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta (o ecuación implícita) se obtiene eliminando los denominadores en la ecuación continua:

Siguiendo con el ejemplo anterior, de la ecuación continua se llegaría a:

En la que A y B no pueden ser nulos a la vez. La ecuación general se debe presentar de forma que A sea positiva.

A partir de la ecuación general de la recta, se pueden obtener las coordenadas de cualquiera de sus puntos. Basta con partir de un valor de abscisa x, trasladarlo a la ecuación y despejar la ordenada correspondiente y.

También se pueden obtener los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. El corte con el eje X, el punto a y el corte con el eje Y, el punto b:

Así como la pendiente de la recta:

Ecuación explícita

La ecuación explícita de la recta se obtiene al despejar de la ecuación general la variable y, siempre que B sea distinta de cero. Se denomina también forma principal u ordinaria de la ecuación de la recta.

El ejemplo que se viene arrastrando en las diferentes transformaciones en las formas de ecuación de la recta, una vez despejada la y, sería:

Cuando x = 0, entonces y = b. Por eso a b se le llama ordenada en el origen.

Como dos puntos determinan una recta, con ellos podemos obtener su pendiente. El valor de la pendiente también se puede obtener a partir de la ecuación general:

La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con la rama positiva del eje X, y m = tan α.

Cuando m > 0 la recta es ascendente, cuando m < 0 la recta es descendente. Si m = 0 la recta es horizontal. Cuando la recta es vertical, decimos que tiene una pendiente indeterminada (o infinita), pues así es la tangente de 90°.

Ecuación punto-pendiente

La ecuación punto-pendiente de la recta se plantea si se conoce la pendiente de la recta y uno de sus puntos:

Ecuación punto-punto

Sean dos puntos conocidos de la recta A(x₁, y₁ y B(x₂, y₂. La ecuación punto-punto de la recta deriva de la ecuación punto-pendiente y de la expresión conocida de m:

Ecuación en forma simétrica

Cuando se conocen los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas: corte en las abscisas (a, 0) y corte con el eje Y (0, b), sabiendo que (b) es la ordenada en el origen), podemos escribir:

Estos puntos de corte se obtienen de la ecuación general así:

Sobre la ecuación en forma simétrica cabe decir que los coeficientes de x e y de los numeradores deben de ser la unidad, que las dos fracciones han de estar ligadas por el signo más, que la igualdad debe ser 1 y que en la ecuación correspondiente en la forma general ninguno de los tres coeficientes A, B y C deben de ser nulos :

Resumen de las fórmulas

Recapitulando, en el cuadro se muestran las opciones a elegir:

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a otra recta r, 2x + 3y – 6 = 0 que la corta en el punto de encuentro de la recta r con el eje de las abscisas. Poner la ecuación de s en su forma general:

Solución:

El punto de corte es (3, 0).

La pendiente de r es -2/3. Por lo que la pendiente de la recta perpendicular será su inversa negativa, es decir m_s = 3/2. Podemos plantear la ecuación punto-pendiente de la perpendicular s en el punto de corte (3, 0).

La imagen de estas rectas será:

Ejercicio 2

Esta recta está expresada con su ecuación general:

a. Hacer las transformaciones para llegar a la ecuación explícita.

b. Obtener la ecuación en forma simétrica.

c. Averiguar la pendiente de la recta.

Solución:

a. Despejando la variable y se obtiene la forma explícita:

b. Para obtener los coeficientes a y b de la ecuación puesta en forma simétrica, hallaremos los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas, igualando sucesivamente a cero la y y la x, por ejemplo a partir de la ecuación en forma general:

Los puntos de corte con los ejes son (0, 2) y (-3, 0). Así podemos escribir la ecuación en forma simétrica:

c. Se pide la pendiente, que la podemos obtener a partir de dos puntos de la recta. Tenemos las intersecciones con los ejes X e Y que antes hemos averiguado:

La pendiente es m = 2/3, que, como sabemos, coincide con el coeficiente de la x en la ecuación puesta en forma explícita. El valor de m es positivo, por lo que la pendiente es ascendente o creciente.

El resultado del ejercicio se ve en la imagen:

Ejercicio 3

Una recta viene expresada por una ecuación en su forma general:

Determinar los puntos de corte con los ejes de coordenadas y la pendiente de la recta.

Solución:

Los puntos de corte con los ejes son (1, 0) y (0, -3). La pendiente de la recta es 3.

Como se ve en la imagen: