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Derivada de la cotangente

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La derivada de la cotangente se obtiene de una de estas tres expresiones equivalentes trigonométricamente:

Fórmula de la derivada de la cotangente

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la cotangente, emplearemos la derivada de un cociente, para obtener estas tres expresiones equivalentes:

Fórmula de la derivada de la cotangente por composición de funciones

Ejercicio

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con la cotangente:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada se hallará con la fórmula de la derivada de la función compuesta con la cotangente:

Resultado del ejercicio 1

La derivada de la cotangente de una función f(x) se puede expresar como la fracción, con signo negativo, de la derivada f’(x) partido por el seno al cuadrado de f(x).

Demostración de la derivada de la cotangente

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Para demostrar la fórmula, podríamos emplear la definición de derivada mediante límites pero lo haremos, por mayor sencillez, mediante la regla de derivación de la derivada de un cociente.

La cotangente se puede expresar así:

Definición de la fórmula en la demostración de la derivada de la cotangente

Derivamos por la regla del cociente, obteniendo dos de las expresiones de la derivada de la cotangente:

Expresiones de la fórmula en la demostración

La tercera expresión equivalente, expuesta arriba, se deduce de las relaciones trigonométricas.

Relaciones trigonométricas de la fórmula en la demostración

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