Teorema de Rolle

El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(c) = 0.

Corolario:

• La interpretación geométrica es que, como la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a ese punto y al ser f’(x) = 0, por lo tanto la tangente será una paralela al eje de las abscisas.
• Si se tratase de una función constante, la consecuencia sería anodina, ya que cualquier punto de (a, b) cumpliría el teorema de Rolle.
• Al menos debe haber un punto en que f’ = 0. Pero puede haber más de uno que cumpla esa condición, como se ve en la imagen.
  

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumple que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

Ejercicio

Comprobar que la función f(x) = x³/4 + x² – 4x satisface el teorema de Rolle en el intervalo [-6, 3,24) y hallar el punto o los puntos en que harían la derivada nula.

Como se trata de una función polinómica es en todo su dominio continua y derivable y, por tanto, también en el intervalo.

También se cumple la otra tesis del teorema, que f(-6) = f(3,24) = 6.

Ahora, hay que hallar el punto o los puntos del intervalo que hacen la derivada nula. Para ello, derivamos la función dada y se iguala a 0.

Resulta que la función derivada es una ecuación cuadrática de la que hallaremos las raíces, que son las que la hacen nula:

Los valores hallados, -4 y 3/4 son los valores de x que hacen a f’(x) = 0

Comprobamos que ambos valores están en el intervalo (-6, 3,24) y que se cumple el teorema de Rolle en dos puntos, como se ve en la imagen.