Coseno

El coseno de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

Es una de las razones trigonométricas. Se llaman razones porque se expresan como el cociente de dos de los lados del triángulo rectángulo.

Su abreviatura es cos (del latín cosinus).

Coseno de ángulos característicos

El coseno de los ángulos más característicos es:

Características del coseno

• Dominio:
• Recorrido:
• Simetría: dado que cos (-x) = cos (x) entonces cos (x) es una función par y su gráfica es simétrica respecto al eje Y.
• Crecimiento y decrecimiento: tomando el período de 0 a 2π, cos (x) decrece en el intervalo (0, π) y crece en el intervalo (π, 2π).
• Límites: Los límites cuando x se acerca a ±∞ no existen ya que los valores de la función oscilan entre +1 y −1. Esta es una función periódica con período 2π.
• Derivada:
• Integral:

Representación gráfica de la función coseno

La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Representación geométrica del coseno

Relaciones del coseno con las restantes razones trigonométricas

• Relación con el seno:
  
• Relación con la tangente:
  
• Relación con la cosecante:
  
• Relación con la secante:
  
• Relación con la cotangente:
  

(1) Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Coseno del ángulo complementario, suplementario, conjugado y opuesto

• Coseno del ángulo complementario:
  
• Coseno del ángulo suplementario:
  
• Coseno del ángulo conjugado:
  
• Coseno del ángulo opuesto:
  
• Coseno de ángulos que difieren 90º:
  
• Coseno de ángulos que difieren 180º:
  

Coseno del ángulo suma, resta, doble y mitad

• Coseno del ángulo suma:
  
• Coseno del ángulo resta:
  
• Coseno del ángulo doble:
  
• Coseno del ángulo mitad:
  
• Coseno del ángulo triple:
  

Transformaciones de razones trigonométricas

• Transformación de razones trigonométricas de suma en producto
  
  
• Transformación de razones trigonométricas de producto en suma
  
  

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a² =  b²+c². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Otras razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

• El seno se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
  
• La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
  

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

• Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):
  
• Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b):
  
• Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a):
  

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.