Derivada del seno

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La derivada del seno es el coseno:

Fórmula de la derivada del seno

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el seno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Fórmula de la derivada del seno por composición de funciones

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con el seno:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada se hallará, como se ha dicho, aplicando la regla de la cadena:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

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Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta con el seno:

Enunciado del ejercicio 2

Por el mismo procedimiento que el del ejercicio 1:

Resultado del ejercicio 2

Demostración de la derivada del seno

Para demostrar la fórmula, recurriremos a la definición de la derivada:

Fórmula de la definición de derivada

Como aquí f(x) es la función sen(x):

Definición de la fórmula en la demostración de la derivada del seno

Inicialmente, este límite nos lleva a una indeterminación al aparecer una fracción, dividida por cero. Tendremos que hacer alguna transformación. Recordamos las razones trigonométricas del ángulo suma, en lo referente al seno de la suma de dos ángulos

Indeterminación en la demostración de la derivada

Aplicamos el ángulo suma al numerador de la fracción anterior de la derivada del seno:

Numerador en la demostración de la derivada

Ahora transformamos la fracción del límite en suma de dos fracciones con común denominador. Hacemos factor común sen(x). Aplicamos, según las propiedades de los límites, la de que el límite de una suma es la suma de los límites.

Límite en la demostración de la derivada

Sacamos fuera de los dos límites los factores sen(x) y cos(x), por no estar afectados por Δx → 0.

Factores en la demostración de la derivada

Según el cálculo de límites por funciones equivalentes, en concreto por infinitésimos equivalentes. Comprobamos estos dos casos:

Funciones equivalentes en la demostración de la derivada

Queda demostrada la derivada del seno:

Final en la demostración de la derivada

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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