Derivada del seno

La derivada del seno es el coseno:

Cuando se trata de la derivada de una función de composición de funciones con el seno, mediante la regla de la cadena, se obtiene la siguiente fórmula:

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con el seno:

La derivada se hallará, como se ha dicho, aplicando la regla de la cadena:

Ejercicio 2

Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta con el seno:

Por el mismo procedimiento que el del ejercicio 1:

Demostración de la derivada del seno

Para demostrar la fórmula, recurriremos a la definición de la derivada:

Como aquí f(x) es la función sen(x):

Inicialmente, este límite nos lleva a una indeterminación al aparecer una fracción, dividida por cero. Tendremos que hacer alguna transformación. Recordamos las razones trigonométricas del ángulo suma, en lo referente al seno de la suma de dos ángulos

Aplicamos el ángulo suma al numerador de la fracción anterior de la derivada del seno:

Ahora transformamos la fracción del límite en suma de dos fracciones con común denominador. Hacemos factor común sen(x). Aplicamos, según las propiedades de los límites, la de que el límite de una suma es la suma de los límites.

Sacamos fuera de los dos límites los factores sen(x) y cos(x), por no estar afectados por Δx → 0.

Según el cálculo de límites por funciones equivalentes, en concreto por infinitésimos equivalentes. Comprobamos estos dos casos:

Queda demostrada la derivada del seno: