Derivada de una función en un punto

Sea a un punto de un intervalo abierto I en el que está definida la función f(x). Cuando la variable independiente x pasa del valor a a otro x₁, la variable x habrá experimentado una variación Δx  = x₁ – a. A este incremento se le suele llamar también h. Entonces se produce un incremento en el valor de la función, es decir, en la variable dependiente Δ y = f(a + Δx) – f(a).

Si el incremento Δx se va haciendo infinitamente pequeño, acercándose hacia la el valor de la abscisa a, ya podemos introducir la definición del concepto de derivada de una función f(x) en el punto para el que x = a. Designada f’(a), la derivada es el límite, si es que existe, de este cociente:

La derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea T.V.I.(a).

La derivada en un punto es un número real y puede ser negativa, positiva o nula.

Si el límite no existiera, incluso en el caso de que fuese infinito, entonces f(x) no sería derivable en a.

Pero si la función f(x) admite derivada en a, se dice que f(x) es derivable en a.

Y si la función f(x) admitiera derivada en un intervalo abierto I, se dice que f(x) es derivable en I.

Cuando existe f’(a), entonces f(x) es continua en a.

La expresión de la derivada en atambién se puede escribir de esta manera:

O, también, la menos empleada notación de Leibniz:

Y otras expresiones equivalentes.

Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx]. Es el siguiente cociente:

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α:

O, lo que es lo mismo:

Si hacemos Δx cada vez menor, de manera que tienda a cero, los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx tienden a confundirse en un punto.

De esta manera, la recta secante anterior en el límite pasa a ser la tangente a la gráfica de la función en (a, f(a)), es decir, la tangente del ángulo α:

Sabiendo la derivada, o lo que es lo mismo, la tangente del ángulo que forma la recta tangente, se puede obtener la ecuación de dicha recta, como se verá en el ejercicio.

Esta interpretación geométrica ilustra la no derivabilidad en un punto anguloso, como en el caso, el (0, 0) de la imagen, punto donde no se puede trazar una única tangente. No hay derivada en ese punto.

Como se ha dicho, la derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea en ese punto: T.V.I.(a).

Ejercicio

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x⊃2 en el punto de abscisa x = 1. Determinar también la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el mismo punto.

Solución:

La ecuación de una recta de la que se conoce su pendiente m y uno de sus puntos (y₀, x₀) es:

La pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto es precisamente la derivada en ese punto. m = f’(x₀).

Hallamos la derivada de la función para x = 1 según la fórmula general de la derivada:

El valor de la derivada en ese punto es 2. Vamos a realizar el cálculo, derivando directamente según la regla de la derivada de una potencia:

Llegando al mismo valor de la derivada en x = 1, o, lo que es lo mismo, al valor de la pendiente de la recta tangente.

Con este datos ya se puede escribir la ecuación de la recta tangente

Para la recta normal a la función en ese punto, la pendiente es la inversa de la pendiente de la recta tangente con signo contrario:

El resultado gráfico del ejercicio se ve en la imagen: