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Derivada de una función en un punto

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Sea a un punto de un intervalo abierto I en el que está definida la función f(x). Cuando la variable independiente x pasa del valor a a otro x1, la variable x habrá experimentado una variación Δx  = x1 – a. A este incremento se le suele llamar también h. Entonces se produce un incremento en el valor de la función, es decir, en la variable dependiente Δ y = f(a + Δx) – f(a).

Si el incremento Δx se va haciendo infinitamente pequeño, acercándose hacia la el valor de la abscisa a, ya podemos introducir la definición del concepto de derivada de una función f(x) en el punto para el que x = a. Designada f’(a), la derivada es el límite, si es que existe, de este cociente:

Fórmula de la derivada de una función en un punto

La derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea T.V.I.(a).

La derivada en un punto es un número real y puede ser negativa, positiva o nula.

Si el límite no existiera, incluso en el caso de que fuese infinito, entonces f(x) no sería derivable en a.

Pero si la función f(x) admite derivada en a, se dice que f(x) es derivable en a.

Y si la función f(x) admitiera derivada en un intervalo abierto I, se dice que f(x) es derivable en I.

Cuando existe f’(a), entonces f(x) es continua en a.

La expresión de la derivada en atambién se puede escribir de esta manera:

Expresión 1 de la derivada de una función

O, también, la menos empleada notación de Leibniz:

Expresión 2 de la derivada de una función

Y otras expresiones equivalentes.

Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

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Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx]. Es el siguiente cociente:

Fórmula de la tasa de variación media

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α:

Representación de la tasa de variación media

O, lo que es lo mismo:

Fórmula 2 de la tasa de variación media

Si hacemos Δx cada vez menor, de manera que tienda a cero, los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx tienden a confundirse en un punto.

De esta manera, la recta secante anterior en el límite pasa a ser la tangente a la gráfica de la función en (a, f(a)), es decir, la tangente del ángulo α:

Resultado del ejercicio 1

Sabiendo la derivada, o lo que es lo mismo, la tangente del ángulo que forma la recta tangente, se puede obtener la ecuación de dicha recta, como se verá en el ejercicio.

Esta interpretación geométrica ilustra la no derivabilidad en un punto anguloso, como en el caso, el (0, 0) de la imagen, punto donde no se puede trazar una única tangente. No hay derivada en ese punto.

Punto anguloso en la interpretación geométrica de la derivada

Como se ha dicho, la derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea en ese punto: T.V.I.(a).

Ejercicio

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x⊃2 en el punto de abscisa x = 1. Determinar también la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el mismo punto.

Solución:

La ecuación de una recta de la que se conoce su pendiente m y uno de sus puntos (y0, x0) es:

Cálculo de la pendiente del ejercicio 1

La pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto es precisamente la derivada en ese punto. m = f’(x0).

Hallamos la derivada de la función para x = 1 según la fórmula general de la derivada:

Cálculo de la derivada del ejercicio 1

El valor de la derivada en ese punto es 2. Vamos a realizar el cálculo, derivando directamente según la regla de la derivada de una potencia:

Cálculo de la derivada de una potencia del ejercicio 1

Llegando al mismo valor de la derivada en x = 1, o, lo que es lo mismo, al valor de la pendiente de la recta tangente.

Con este datos ya se puede escribir la ecuación de la recta tangente

Cálculo de la recta tangente de una potencia del ejercicio 1

Para la recta normal a la función en ese punto, la pendiente es la inversa de la pendiente de la recta tangente con signo contrario:

Cálculo de la recta normal de una potencia del ejercicio 1

El resultado gráfico del ejercicio se ve en la imagen:

Gráfica en el ejercicio 1 de la interpretación geométrica de la derivada

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