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Tipos de funciones

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Existen los siguientes tipos de funciones:

Función polinómica

Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

Expresión de una función polinómica.
Dibujo de una función polinómica.

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales.

Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

Función constante

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Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

Expresión de una función constante.
Dibujo de una función constante.

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2).

Dibujo de una función constante entre dos puntos.

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

Función polinómica de primer grado

Las funciones polinómicas de primer grado o de grado 1 son aquellas que tienen un polinomio de grado 1 como expresión. Están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

Expresión de una función polinómica de primer grado.
Dibujo de una función polinómica de primer grado.

Su representación gráfica es una recta de pendiente m.

La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos:

Función afín

Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).

Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Expresión de una función afín.

Los escalares m y n son diferentes de 0.

Gráfica de una función afín.

Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

Expresión de una función lineal.
Gráfica de una función lineal.

También se llaman funciones de proporcionalidad directa. La constante m es la razón de proporcionalidad.

El término independiente n de la función afín es cero.

Función identidad

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

Expresión de una función identidad.

Estas funciones también suele denotarse por id.

Gráfica de la función identidad.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.

La función identidad es importante en la función inversa.

Función cuadrática

Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2):

Expresión de una función cuadrática.

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Dibujo de una función polinómica cuadrática.

Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Las raíces de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X.

Función cúbica

Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x3):

Expresión de una función cúbica.

La representación gráfica de la función cúbica es:

Dibujo de una función polinómica cúbica.

Una función cúbica puede tener tres raíces reales dos o una. Las raíces de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X.

Función racional

Las funciones racionales f(x) son el cociente de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

Expresión de una función racional.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador.

Gráfica de una función racional.

Función de proporcionalidad inversa

Una función de proporcionalidad inversa es la que, cuando aumenta la variable independiente disminuye la variable dependiente o viceversa.

Su forma más simple es:

Expresión de una función de proporcionalidad inversa

k es el coeficiente de proporcionalidad inversa.

Su dominio y su codominio son los números reales, excepto en las asíntotas, en donde hay un punto de ruptura.

Si k > 0, la función es decreciente y está en el primer y tercer cuadrante.

Gráfica de una función de proporcionalidad inversa con k positivo

Si k < 0, la función es creciente y está en el segundo y cuarto cuadrante.

Gráfica de una función de proporcionalidad inversa con k negativo

La gráfica es una hipérbola con una asíntota vertical y otra horizontal.

Función radical

Una función radical o función raíz es la que la variable dependiente y se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x.

Expresión de una función radical

Son llamadas también funciones irracionales.

Cuando el índice de la raíz n es par, el dominio de la función son los valores de x que hacen al radicando cero o mayor que cero.

Gráfica de una función radical de índice par

Cuando el índice es impar, el dominio son los números reales.

Un ejemplo de gráfica de función radical con índice n impar:

Gráfica de una función radical de índice impar

Función inversa

Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

Dibujo de una función inversa.

Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:

Fórmula de la definición de una función inversa.

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.

Fórmula de la definición de una función inversa a través de la composición de funciones.

Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.

Funciones trascendentes

Una función trascendente es la que la variable independiente x se encuentra en el exponente, el índice de una raíz, en un logaritmo o en una función trigonométrica.

Para una función trascendente no basta con operaciones algebraicas, sinó que se requieren cálculos como derivadas, integrales, trigonometría, etc.

Son funciones trascendentes las exponenciales, logarítmicas o las trigonométricas.

Función exponencial

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

Expresión general de una función exponencial.

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Dibujo de la gráfica de una función exponencial.

También se suele denotar la función como exp (x).

Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

Expresión general de una función logarítmica.

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Funciones trigonométricas

las funciones trigonometricas f son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica.

Dibujo de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Existen seis funciones trigonométricas:

Seno

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

Fórmula del seno

Su abreviatura son sen o sin (del latín sinus).

La gráfica de la función seno es:

Gráfica de la función del seno.

La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

  • Dominio: Dominio del seno.
  • Codominio: Codominio del seno.
  • Derivada de la función seno: Derivada del seno.
  • Integral de la función seno: Integral del seno.

Coseno

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

Fórmula del coseno

Su abreviatura es cos (del latín cosinus).

La gráfica de la función coseno es:

Gráfica de la función del coseno.

La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes).

  • Dominio: Dominio del coseno.
  • Codominio: Codominio del coseno.
  • Derivada de la función coseno: Derivada del coseno.
  • Integral de la función coseno: Integral del coseno.

Tangente

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de la tangente

La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Fórmula de la tangente

Su abreviatura son tan o tg.

La gráfica de la función tangente es:

Gráfica de la función de la tangente.

La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes).

  • Dominio: Dominio de la tangente. (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…
  • Codominio: Codominio de la tangente.
  • Derivada de la función tangente: Derivada de la tangente.
  • Integral de la función tangente: Integral de la tangente.

Cosecante

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de la cosecante.

La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1.

La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).

Fórmula de la cosecante

Su abreviatura es csc o cosec.

La gráfica de la función cosecante es:

Gráfica de la función de la cosecante.

La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).

  • Dominio: Dominio de la cosecante. (excepto a · π), siendo a un número entero.
  • Codominio: Codominio de la cosecante.
  • Derivada de la función cosecante: Derivada de la cosecante.
  • Integral de la función cosecante:
    Integral de la cosecante.

Secante

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de la cosecante.

La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es decir sec α · cos α=1.

La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Fórmula de la secante

Su abreviatura es sec.

La gráfica de la función secante es:

Gráfica de la función de la secante.

La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes).

  • Dominio: Dominio de la secante. (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…
  • Codominio: Codominio de la secante.
  • Derivada de la función secante: Derivada de la secante.
  • Integral de la función secante:
    Integral de la secante.

Cotangente

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de la cosecante.

La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1.

La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

Fórmula de la cotangente

Su abreviatura es cot, cotg o cotan.

La gráfica de la función cotangente es:

Gráfica de la función de la cotangente.

La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes).

  • Dominio: Dominio de la cotangente. (excepto a · π), siendo a un número entero.
  • Codominio: Codominio de la cotangente.
  • Derivada de la función cotangente:
    Derivada de la cotangente.
  • Integral de la función cotangente:
    Integral de la cotangente.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Por ejemplo:

Expresión de una función definada a trozos.
Dibujo de una función definida a trozos.

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

Función derivada de una función

La función derivada f’ de una función f que sea derivable en un intervalo I es una nueva función que hace corresponder para cada valor de x ∈ I el valor de la derivada de f en ese punto.

En otras palabras, la función derivada f’ recoge todos los valores de las derivadas de f existentes en todos los puntos de su dominio.

Puede ocurrir que f no tenga derivada en todo su dominio. En ese caso, el dominio de la función derivada f’ es más pequeño que el dominio de f.

La expresión de la función derivada respecto a la función inicial es el siguiente límite:

Expresión de una función derivada

La función derivada f’ de una función f, derivable en I, cuando el incremeto de la variable x ∈ I tiende a cero, es el cociente entre el incremento de la función inicial y el incremento de la variable independiente x.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

Expresión general de una función.
Dibujo de una función entre dos conjuntos.

Función inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

Dibujo de una función inyectiva.

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:

Fórmula de la condición de una función inyectiva.

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0x1f(x0) ≠ f(x1).

Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Dibujo de una función sobreyectiva.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Fórmula de la condición de una función sobreyectiva.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

Dibujo de una función biyectiva.

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Fórmula de la condición de una función biyectiva.

Funciones explícitas e implícitas

Una función explícita es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente está despejada. Es decir, y = f(x).

Un ejemplo de función explícita sería:

Ejemplo de una fórmula de función explícita

Una función implícita es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente y no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.

Un ejemplo de función implícita sería:

Ejemplo de una fórmula de función implícita

Una función en forma implícita, despejando, siempre se puede pasar a la forma de una función explícita.

Función valor absoluto

La función valor absoluto devuelve el valor numérico del segundo término, pero afectado siempre del signo positivo. Tiene sentido para caracterizar distancias, longitudes.

La expresión más simple de una función valor absoluto es: f(x) = |x| y la gráfica son dos rectas simétricas en el primer y segundo cuadrante, con pendientes 1 y -1 (forma de “V”) que se cortan en el origen (0,0).

Gráfica de la función valor absoluto

El dominio son números reales y el codominio, los reales positivos.

Una función valor absoluto se puede desplazar, simplemente, deslizándose el vértice a derecha e izquierda por el eje de las X con esta forma: f(x) = |x| + k. (si k es un número positivo, la gràfica se desplaza una distancia k hacia la derecha; si k es un número negativo, la gráfica se desplaza una distancia k hacia la izquierda. El vértice estará en (k, 0).

Gráfica de la función valor absoluto con desplazamiento horizontal

También se puede desplazar verticalmente, deslizándose el vértice arriba o abajo por el eje de las Y con esta forma: f(x) = |x + k|. (si k es un número positivo, la gráfica se desplaza una distancia k hacia arriba; si k es un número negativo, la gráfica se desplaza una distancia k hacia abajo. El vértice estará en (0, k).

Gráfica de la función valor absoluto con desplazamiento vertical

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16 Respuestas

  1. laura dice:

    gracias muy útil

  2. alexis dice:

    muy bueno para mi proyecto,me ayudo bastante

  3. Gerardo dice:

    Gracias fue de mucha ayuda en mi clase

  4. GABRIEL ANGEL ESPINOZA SOLORZANO dice:

    Gracias me ayudó mucho en mi consulta y adquirir más conocimientos de los tipos de funciones que existen

  5. Vi dice:

    Gracias me fue de mucha ayuda

  6. francisco dice:

    el contenido es bueno pero no se puede imprimir lo que lo hace inutil por lo tanto lo considero malo e inutil

    • erica lucero salazar dice:

      UUSSSS QUE POCA PERSONA ES TIENES QUE TENER UNA IDEA DE COMO TRASCRIBIR YO LO PUEDE PASAR TODO QUE TAN TAN CONCHUDO QUIERE QUE SE LO HAGAN TODO O QUE MIJO

    • Respuestas dice:

      Botón derecho e imprimir.
      En opción “`personalizado” eliges las páginas a imprimir.

  7. Luis García dice:

    Con todo respeto no me convence la gráfica de la función cúbica pues los (-1)^3= -1, (-2)^3=-8, (-3)^3= -27.

  8. rosbely dice:

    gracias es bueno aprender algo nuevo

  9. melisa narvaez dice:

    los amo me salvaron la vid

  10. cecilia dice:

    buena explicacion felicidades

  11. Alexandra dice:

    muchas gracias me ayudo mucho su informacion sigan asi , buen trabajo, y nuevamente gracias…..

  12. Sebastian Cando Zea dice:

    Si es un tema que se debe aprender, pero recomiendo que expliquen con más ejercicios, que ocurre si no sale una respuesta, que tipos de gráficas puede tener y además una explicación más detallada con los pasos para saber cómo se hace. (0_0)

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