Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Y, cuando 0 < a < 1:

Características

• Dominio:

  El dominio son todos los números reales positivos.

• Recorrido:

  El recorrido son todos los números reales.

• Derivada de la función logarítmica:
• Las funciones logarítmicas son continuas.
• Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.
  
• La imagen de 1 siempre es 0 y la imagen de a es 1.
  

  Así pues, las funciones logarítmicas siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

  
• La función logarítmica es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

1. Función logarítmica del producto:
   
2. Función logarítmica de la división:
   
3. Función logarítmica del inverso multiplicativo:
   
4. Función logarítmica de la potencia:
   

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para dé como resultado el número b.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, 3² = 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman algoritmos comunes.

Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con a = 2, definida por la función:

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).