Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Y, cuando 0 < a < 1:

Características

• Dominio: es el de todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero.

  Veamos tres ejemplos de dominios de funciones logarítmicas:

  
  
  

  En este último caso, los reales negativos, junto con {0}+(0,2) son los que hacen el argumento mayor que cero.

  Lo mismo ocurre cuando la base es menor que uno, que es cuando la función es decreciente.

• Recorrido:

  El recorrido son todos los números reales.

• Derivada de la función logarítmica elemental:
• Las funciones logarítmicas son continuas.
• Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.
  
• En la forma simple de la función, la imagen de 1 siempre es 0 independientemente de cual sea la base a y la imagen de a es 1.
  

  Así pues, las funciones logarítmicas, en su expresión simple, siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

  
• La función logarítmica es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

1. Función logarítmica del producto:
   
2. Función logarítmica de la división:
   
3. Función logarítmica del inverso multiplicativo:
   
4. Función logarítmica de la potencia:
   
5. Función logarítmica de la raíz:
   
6. Cambio de base:
   

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para que dé como resultado el número b.

A b se le llama argumento o antilogaritmo del logaritmo.

Todos los argumentos tienen que ser mayores que cero. No existen los logaritmos de números negativos o del cero.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, (3² = 9). El antilogaritmo o argumento sería el 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman logaritmos comunes.

Se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural), y suele escribirse: f(x) = ln x (o, también f(x) = log _e x), cuando la base es el número e (e = 2,7182818…).

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con base a = 2, definida por la función:

Ver sus características y graficar la función.

Solución:

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).

Para graficar la función con más puntos, se puede recurrir a su función inversa, que es la función exponencial. Para volver de la función potencial a su inversa, que es nuestra función logarítmica, se intercambian los valores de x e y. Como se ve aquí:

Como se ve en esta imagen: