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Función logarítmica

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Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

Expresión general de una función logarítmica.

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica como inversa de la función exponencial

Y, cuando 0 < a < 1:

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica como inversa de la función exponencial con a menor que 1

Características

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Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

  1. Función logarítmica del producto:
    Fórmula de la función logarítmica del producto de dos elementos.
  2. Función logarítmica de la división:
    Fórmula de la función logarítmica de la división de dos elementos.
  3. Función logarítmica del inverso multiplicativo:
    Fórmula de la función logarítmica del inverso multiplicativo de un elemento.
  4. Función logarítmica de la potencia:
    Fórmula de la función logarítmica de la potencia de dos elementos.

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para dé como resultado el número b.

Fórmula de la definición de un logaritmo.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, 32 = 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman algoritmos comunes.

Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con a = 2, definida por la función:

Expresión de un ejemplo de función logarítmica.
Dibujo de la gráfica de un ejemplo de función logarítmica.

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).

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19 Respuestas

  1. Bryan Jimenez dice:

    Ayuda por favor:
    Si la función f(x)=log(base5)X se cumple que f(x)>0 en el intervalo?

    • Respuestas dice:

      Si consultas esta página verás que como la base 5 > 0, la función es estrictamente creciente.
      Como en todas las funciones logarítmicas f(1) = 0.
      Como es creciente, para x > 1, siempre se cumple que f(x) > 0

  2. Felipe Salazar dice:

    AYUDA!!!!!
    PORFAVOR
    TENGO MIEDO A LA VEZ
    AYUDA!!!!
    PLS

  3. Felipe dice:

    AYUDA!!!!!
    PORFAVOR
    TENGO MIERDA EN LA RAJA Y MIEDO A LA VEZ
    AYUDA!!!!

  4. masooc dice:

    como calculamos los puntos de la funcion logaritmica para hacer una grafica con la calculadora?

    • Respuestas dice:

      En primer lugar, una función logarítmica siempre pasa por los puntos (1,0) y (a,1). Siendo a (la base) un real positivo distinto de 1.
      Puedes calcular la correspondiente función exponencial, sabiendo que la logarítmica es su inversa. Simplemente consiste en invertir el orden de los pares de puntos hallados.
      En una calculadora gráfica, y para bases distintas de 10 o de e (neperianos o naturales) cambiar la forma de la gráfica, usando un coeficiente de conversión, teniendo en cuenta que:
      logax = logbx / logba
      Por ejemplo, si la calculadora dispone de la tecla GRAPH, obtener la gráfica de una función logarítmica cualquiera:
      Y = log (x + 3), GRAPH

  5. Hola234 dice:

    Todo bien y entendible, solo que el rango tambien puede ser negativo. Si en el logaritmo se encuentra como log(-x) en vez de log x, se invierten el decreciente por creciente y viceversa. Ya que los valores de x pasan a ser positivos

    • Respuestas dice:

      El rango de una función logarítmica son los números reales.
      La variable independiente, (x) está en los reales positivos.
      Si la base es 0 < a < 1, la función logarítmica es decreciente. Conviene fijar bien los conceptos. Los logaritmos de números negativos no existen.

  6. pam dice:

    esta excelente todo bien porque dices que esta mal, tal vez tu no entiendas pero no es la culpa de la pagina.

  7. RAFAEL dice:

    MUY BIEN EXCELENTE EXPLICACION

  8. Kris dice:

    Ayuda! Como hallo “x” en 1-log(base 5)”argumento”120=log(base 5)”argumento”(1-5^x+2)-log(base 25)”aurgumento”(1-5^x+2)+x+2

    • Respuestas dice:

      Cambia todos los términos a logaritmos en base 5.
      P.e, log(base 5)5 = 1
      log(base 25)x = log(base 5)x / log(base 5)25
      En la ecuación elimina logaritmos en todos sus términos, igualando argumentos y despeja la x

  9. HENRY dice:

    hola, como hago para saber la interpretación o como represento cada variable en un ejercicio practico? o sea de donde sale: la a?
    ejemplo; en esta formula que me dicen que es logarítmica.
    Y=L [1/(1+K * a(elevado a la -X)]
    donde L: es la población limite; K=[(L/C)-1]; C: es la población inicial; X: es el tiempo y la a es igual a que?

    • Respuestas dice:

      Existen muchos métodos y fórmulas para el cálculo del crecimiento poblacional.
      En tu fórmula:
      K*a1/x, la a, base del exponente (-x), podría tratarse de la tasa de crecimiento demográfico.

  10. Luis Cervantes dice:

    Si la base a está entre 0 y 1, la función logarítmica es decreciente.

  11. vicfa dice:

    pesima pagina, todo mal.

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