Función logarítmica

Función logarítmica

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Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

Expresión general de una función logarítmica.

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica como inversa de la función exponencial

Y, cuando 0 < a < 1:

Dibujo de la gráfica de una función logarítmica como inversa de la función exponencial con a menor que 1

Características

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  • Dominio: es el de todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero.

    Veamos tres ejemplos de dominios de funciones logarítmicas:

    Dibujo del ejemplo 1 de función logarítmica
    Dibujo del ejemplo 2 de función logarítmica
    Dibujo del ejemplo 3 de función logarítmica

    En este último caso, los reales negativos, junto con {0}+(0,2) son los que hacen el argumento mayor que cero.

    Lo mismo ocurre cuando la base es menor que uno, que es cuando la función es decreciente.

  • Recorrido: Recorrido de la función logarítmica.

    El recorrido son todos los números reales.

  • Derivada de la función logarítmica elemental: Derivada de la función logarítmica.
  • Las funciones logarítmicas son continuas.
  • Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.
    Dibujo de la función logarítmica según si es creciente o decreciente.
  • En la forma simple de la función, la imagen de 1 siempre es 0 independientemente de cual sea la base a y la imagen de a es 1.
    Imágenes de 1 y a mediante una función logarítmica.

    Así pues, las funciones logarítmicas, en su expresión simple, siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

    Gráfica de una función logarítmica pasando por (1,0) y (a,1).
  • La función logarítmica es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

  1. Función logarítmica del producto:
    Fórmula de la función logarítmica del producto de dos elementos.
  2. Función logarítmica de la división:
    Fórmula de la función logarítmica de la división de dos elementos.
  3. Función logarítmica del inverso multiplicativo:
    Fórmula de la función logarítmica del inverso multiplicativo de un elemento.
  4. Función logarítmica de la potencia:
    Fórmula de la función logarítmica de la potencia de dos elementos.
  5. Función logarítmica de la raíz:
    Fórmula de la función logarítmica de la raíz
  6. Cambio de base:
    Fórmula del cambio de base

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para que dé como resultado el número b.

Fórmula de la definición de un logaritmo.

A b se le llama argumento o antilogaritmo del logaritmo.

Fórmula del antilogaritmo o argumento del logaritmo

Todos los argumentos tienen que ser mayores que cero. No existen los logaritmos de números negativos o del cero.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, (3² = 9). El antilogaritmo o argumento sería el 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman logaritmos comunes.

Se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural), y suele escribirse: f(x) = ln x (o, también f(x) = log e x), cuando la base es el número e (e = 2,7182818…).

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con base a = 2, definida por la función:

Expresión de un ejemplo de función logarítmica.

Ver sus características y graficar la función.

Solución:

Dibujo de la gráfica de un ejemplo de función logarítmica.

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).

Para graficar la función con más puntos, se puede recurrir a su función inversa, que es la función exponencial. Para volver de la función potencial a su inversa, que es nuestra función logarítmica, se intercambian los valores de x e y. Como se ve aquí:

Puntos del ejemplo 1

Como se ve en esta imagen:

Dibujo de la gráfica 2 del ejemplo 1

AUTOR: Bernat Requena Serra


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58 comentarios en “Función logarítmica”

    1. Según se dice en esta página:
      Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.
      a es la base del logaritmo

    1. Buenas Magdalena!
      Si te refieres a la base, tu «a» sería 10, cuando «a» no aparece (log) es base 10. Tu «b» es (-2x+5) y tu «c» sería f(x) o Y.

    2. Como se dice en esta misma página:
      Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman logaritmos comunes.

      Se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural), y suele escribirse: f(x) = ln x (o, también f(x) = log e x), cuando la base es el número e (e = 2,7182818…).

    1. Buscas los logaritmos naturales o neperianos de 11x/70 y x/7 o los logaritmos base 11/70 y base 1/7?
      En el primer caso, función logarítmica creciente que corta el eje X en 70/11 y en 7

    1. El dominio de la función f(X) = 0, es (7/3, +)
      Con f(x) > 1 el dominio es (3, +)
      Mira la página Función logarítmica en UNIVERSO FÓRMULAS
      [log2 (3 * 3 – 7) = log2 2= 1]

    1. Si te refieres a graficar, dale valores a x y f(x)
      Por ejemplo, toda función logarítmica del tipo f(x) = loga(x), pasa por (1, 0). También pasa por (a, 1).
      Si la base a > 1, esta función es estrictamente creciente, con asíntota en (0, -∞)
      Pero si a <1, entonces la asíntota estaría en (0, +∞).
      Puedes completar la gráfica, pues una función logarítmica y = logax es la Función inversa de la Función exponencial y = ax.
      Puedes darle valores a esta función. Invirtiendo las variables tienes los pares de valores de este tipo de función logarítmica.

  1. f(x:y)= log2 (x2 + y – 4)
    no entiendo como realizar los pasos. Me lo piden para un TP
    graficar el dominio de definicion tambien pero sabiendo los pasos despues veo como grafico

    x2 es X al cuadrado

    1. No sé si es logaritmo al cuadrado o logaritmo en base 2.
      Consulta la función implícita en las páginas Tipos de funciones y Derivada implícita de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Y ten en cuenta que una función implícita F(x,y) = 0, en un entorno y ciertas condiciones de derivabilidad, puede transformarse en una función implícita y = f(x)

    1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial
      e² = 0,5x
      x = e² / 0,5 = 14,778

    1. El argumento -2x + 1 debe de ser > 0
      1/2>x
      Como la derivada es -2, es decreciente en el dominio: (0,1/2)

    1. La misma propagación ocasiona en la etapa de expansión un crecimiento exponencial. Pero, para que se aprecie la evolución de la Covid-19 dia a dia en un determinado entorno, se aprecia mejor si se trasladan los datos a una escala logarítmica.

    1. Consulta los casos de indeterminaciones en la página límites indeterminados de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Cualquier límite de una función en la que intervenga un logaritmo y que lleve inicialmente a una indeterminación será uno de los casos que buscas.
      Por ejemplo, el límite, cuando x → 2 de (2 – x) / (ln 2 – ln x) lleva a una indeterminación [0 / 0]

    1. Existen relaciones entre pares de magnitudes que no siguen una relación lineal, como la magnitud del estímulo físico (sonido, luminosidad, etc.) o en telecomunicaciones y la sensación de la percepción sensorial, en los que es más práctico usar escalas logarítmicas. El decibelio es un recurso expresivo de la solución dada cuando una magnitud sigue una progresión lineal y otra, una progresión geométrica.

    1. Si consultas esta página verás que como la base 5 > 0, la función es estrictamente creciente.
      Como en todas las funciones logarítmicas f(1) = 0.
      Como es creciente, para x > 1, siempre se cumple que f(x) > 0

    1. En primer lugar, una función logarítmica siempre pasa por los puntos (1,0) y (a,1). Siendo a (la base) un real positivo distinto de 1.
      Puedes calcular la correspondiente función exponencial, sabiendo que la logarítmica es su inversa. Simplemente consiste en invertir el orden de los pares de puntos hallados.
      En una calculadora gráfica, y para bases distintas de 10 o de e (neperianos o naturales) cambiar la forma de la gráfica, usando un coeficiente de conversión, teniendo en cuenta que:
      logax = logbx / logba
      Por ejemplo, si la calculadora dispone de la tecla GRAPH, obtener la gráfica de una función logarítmica cualquiera:
      Y = log (x + 3), GRAPH

  2. Todo bien y entendible, solo que el rango tambien puede ser negativo. Si en el logaritmo se encuentra como log(-x) en vez de log x, se invierten el decreciente por creciente y viceversa. Ya que los valores de x pasan a ser positivos

    1. El rango de una función logarítmica son los números reales.
      La variable independiente, (x) está en los reales positivos.
      Si la base es 0 < a < 1, la función logarítmica es decreciente. Conviene fijar bien los conceptos. Los logaritmos de números negativos no existen.

    1. Cambia todos los términos a logaritmos en base 5.
      P.e, log(base 5)5 = 1
      log(base 25)x = log(base 5)x / log(base 5)25
      En la ecuación elimina logaritmos en todos sus términos, igualando argumentos y despeja la x

  3. hola, como hago para saber la interpretación o como represento cada variable en un ejercicio practico? o sea de donde sale: la a?
    ejemplo; en esta formula que me dicen que es logarítmica.
    Y=L [1/(1+K * a(elevado a la -X)]
    donde L: es la población limite; K=[(L/C)-1]; C: es la población inicial; X: es el tiempo y la a es igual a que?

    1. Existen muchos métodos y fórmulas para el cálculo del crecimiento poblacional.
      En tu fórmula:
      K*a1/x, la a, base del exponente (-x), podría tratarse de la tasa de crecimiento demográfico.

    1. jajaja, nada más por el afán de traer mala vibra y molestar.
      El artículo es completo y comprensible, gracias por compartirlo a los responsables de Universo Fórmulas.

    2. Todo está bien, traer problemas y mala vibra, si crees que está mal anda a otra página no tienes que andar criticando a otros sin saber. Busca a ver yo creo que el único que está mal aquí eres tú.

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