Función inversa

Función inversa

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Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

Dibujo de una función inversa.

Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:

Fórmula de la definición de una función inversa.

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.

Fórmula de la definición de una función inversa a través de la composición de funciones.

Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.

Además, tanto f como f-1 deben de ser biyectivas.

Propiedades

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Método para el cálculo de la función inversa

Tenemos la función y = f(x), realizamos los siguientes pasos:

  1. Se despeja la variable x en función de la y. Por ejemplo:
    Ejemplo de como despejar x en el método del cálculo de una función inversa.
  2. Se intercambian las variables x e y y la función resultado será la función inversa. Por ejemplo:
    Ejemplo de intercambiar las variables en el método del cálculo de una función inversa.

Ejercicio

Encontrar la inversa de la función y = f(x) = 2x-2.

  1. Despejamos la variable x en función de la y. Por ejemplo:
    Cálculo de como despejar x en un ejemplo del método del cálculo de una función inversa.
  2. Intercambiamos las variables x e y y la función resultado será la función inversa:
    Cálculo de la función inversa en un ejemplo del método del cálculo de ésta.
Gráfico de un ejemplo de una función inversa.

Como podemos ver en la gráfica, f y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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15 comentarios en “Función inversa”

  1. Yudeima Coromoto

    excelente Explicación Objetiva y muy clara ¿podrían dar una explicación clara de la función hipérbole y su representación gráfica?

    1. Ves a la página Hipérbola en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Tienes representación gráfica, ecuación, etc.

  2. Sea f : X –>Y una función y sean A, B subconjuntos incluidos en el codominio Y. Demostrar que la función inversa del complemento del conjunto B es igual a el complemento de la función inversa del conjunto B. ¿se puede demostrar? gracias.

    1. Pasa los términos en y a la izquierda de la igualdad y el resto a la derecha, reduciendo y operando.
      Entonces ya puedes seguir los pasos que se indican en esta página para hallar su función inversa.
      Lo de f1 supongo que te refieres a la derivada, o f'(x) o y’.
      Lo encontrarás en las páginas Derivada de UNIVERSO FÓRMULAS.

  3. Muy buena explicación, lo que más me confundía a la hora de calcular la inversa era el intercambio entre las variables x e y, ahora lo entiendo mejor, pero no del todo, ¿es algo que sólo se realiza cuando estamos hablando de la gráfica?, porque en un ejemplo práctico, como convertir la función que transforma grados fahrenheit en celsius en su inversa, no se realizaría el intercambio de variables al final, ¿no?

    C=5/9(F-32) su inversa sería F=9/5C+32

    Muchas gracias.

    1. Has encontrado un ejemplo pràctico de funcionés inversas.
      En la primera, a partir de un elemento del conjunto de partida (variable independiente) grados Farenheit, se llega a un elemento del conjunto de llegada (variable dependiente), grados Celsius.
      La segunda función, su inversa, recorre el camino contrario. Los grados Celsius han pasado a
      ser variable independiente.
      Si construyes sus gráficas, té saldrán simétricas.

    1. Siguiendo paso a paso el método para el cálculo de la función inversa de esta página.
      Por ejemplo, la primera:
      A la función la llamas «y»
      y = x + 1
      Despeja la x
      x = y – 1
      Intercambia las variables, siendo esta y ahora la función inversa:
      f-1(x) = x – 1

    1. Zulay, es un error de la imagen. La función original (en verde en la imagen) es, como se indica en el planteamiento del ejercicio y = f(x) = 2x – 2.
      Se corregirá la imagen en breve y gracias.

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