La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o mínimo de una función determinada que recoge el objetivo a optimizar, se averigua el valor o valores de las variables que hay que ajustar.
Los pasos a tomar en el proceso de optimización son:
- Es conveniente un esquema o gráfico, para abordar mejor el problema.
- Estudiar las variables objetivo y las condiciones que deben de cumplir.
- Es conveniente un esquema o gráfico, para abordar mejor el problema.
- Plantear la ecuación o ecuaciones que describen el problema.
- Encontrar otra ecuación que relacione las variables, en el caso de que sea más de una, con el fin de que en la ecuación descriptiva se quede con una sola variable independiente.
- Derivar esta última ecuación, si es derivable. Igualarla a cero y encontrar sus raíces, que serán las candidatas a la solución. La raíz elegida debe cumplir las condiciones iniciales.
- Preferentemente mediante el criterio de la segunda derivada comprobar si existe el máximo o mínimo buscado. Para ello, si existe la derivada segunda, valorar su signo cuando se sustituye la variable independiente en la derivada segunda por la raíz encontrada en la derivada primera. Si el resultado es negativo, hemos maximizado. Si el resultado es positivo, se habrá minimizado.
- En el caso de que la segunda variable fuese complicada de hallar, se puede estudiar el valor del entorno de la raíz en f’. Así se comprobará si hay máximo o mínimo.
- Valorar los resultados.
- Una representación gráfica ayuda a valorar el resultado.
Ejercicio
¿Cuáles serán las medidas de un depósito de 26 m³ de capacidad cuya forma es un prisma regular hexagonal para que sea construido con el mínimo material? El depósito va sin tapa superior.
Solución:
Para ver la cantidad de material a emplear de m² de chapa, emplearemos la fórmula del área de un prisma hexagonal regular, pero con una sola base, ya que no lleva tapa. La base es un hexágono regular.
El área de un hexágono regular la tenemos expresada en función del lado L, porque, por procedimientos trigonométricos, podemos prescindir de la apotema. El área lateral de un prisma es perímetro por altura h o arista lateral.
Podemos expresar el planteamiento del problema a optimizar con la fórmula del área total de este depósito hexagonal, que depende dos variables independientes: la arista de la base L y la altura h:
La condición obvia que se les impone a estas dos variables es que sean mayor que cero.
Esta imagen ilustra el planteamiento de este problema:
Esta es la ecuación que nos permitirá relacionar L y h para quedarnos con una sola será la fórmula del volumen del prisma:
Y la ecuación que nos permitirá relacionar L con h para quedarnos con una sola será la fórmula del volumen del prisma. De ella, despejaremos h:
Y sustituimos h en la anterior fórmula del área, quedando ahora solamente en función de una variable, la de la arista de la base L:
Derivamos la función y la igualamos a cero para hallar sus raíces, que serán candidatas a ser o un máximo, o un mínimo, u otra cosa.
Y sustituimos h en la anterior fórmula del área, quedando ahora solamente en función de una variable, la de la arista de la base L.
Hallamos su raíz, que es única:
Para ver si 2,26 se corresponde con un mínimo o no, hallamos la segunda derivada sustituyendo en ella L por 2,26, dando un valor positivo:
Como el resultado es positivo, estamos ante un mínimo. Ahora, conocida L se puede hallar también la altura del depósito buscada:
Estas son las dimensiones para conseguir un depósito prismático hexagonal utilizando el mínimo de material, que será 39,83 m² de chapa. Como se ve en la figura: