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Cargando...La derivabilidad y continuidad son dos conceptos que pueden estar relacionados. La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha de a y ambas derivadas laterales son iguales:
La continuidad de una función o de uno de sus intervalos no indica que ésta sea necesariamente derivable.
Contrariamente, toda función o intervalo de función que sea derivable sí que es continua.
La continuidad de una función, en un punto, en un intervalo, o en todo su dominio es una condición necesaria pero no suficiente para que ésta sea derivable.
En lenguaje no formal, para que una función sea derivable, además de que no hayan saltos en su gráfica (continuidad), no debe de tener picos, puntos angulosos.
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, derivable por la derecha en a y derivable por la izquierda en b.
Ejercicio
Dibujar la gráfica de esta función. Ver si es continua. Comprobar si es derivable para x = 0.
La continuidad en un punto (en este caso, x = 0) requiere que se cumplan estas tres condiciones:
1. Que exista f(0).
Existe y es f(0) = 0.
2. Que exista el límite en el punto f(0), o lo que es lo mismo, que coincidan sus límites laterales.
Existe el límite, ya que coinciden sus límites laterales.
3. Que la imagen de 0 (f(0)) y el límite de la función en 0 coincidan.
Tercera condición que también se cumple, pues:
La función es continua para x = 0.
Para ver si es derivable en x = 0, sabemos que se cumple la condición necesaria de continuidad en ese punto. Hay que estudiar para confirmarlo que las derivadas laterales en x = 0 son iguales. Empezamos por la derivada lateral por la izquierda:
En este límite, el radicando en el numerador es siempre positivo, porque va elevado a una potencia par (a la cuarta), por lo que el numerador es positivo. El denominador es negativo porque tiende a cero por la izquierda, por lo que el resultado será:
Por el mismo procedimiento, la derivada por la derecha es:
Por ser el numerador y el denominador positivos:
Las derivadas laterales no son iguales, por lo que la función no es derivable en x = 0.
Como la función es fácil de derivar (derivada de una potencia), comprobamos también la inexistencia de la derivada en x = 0, aplicando la regla:
Como se puede observar en la siguiente imagen:
