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Derivabilidad y continuidad

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La derivabilidad y continuidad son dos conceptos que pueden estar relacionados. La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha de a y ambas derivadas laterales son iguales:

Fórmula de la función derivable por las derivadas laterales

La continuidad de una función o de uno de sus intervalos no indica que ésta sea necesariamente derivable.

Contrariamente, toda función o intervalo de función que sea derivable sí que es continua.

La continuidad de una función, en un punto, en un intervalo, o en todo su dominio es una condición necesaria pero no suficiente para que ésta sea derivable.

En lenguaje no formal, para que una función sea derivable, además de que no hayan saltos en su gráfica (continuidad), no debe de tener picos, puntos angulosos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, derivable por la derecha en a y derivable por la izquierda en b.

Ejercicio

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Dibujar la gráfica de esta función. Ver si es continua. Comprobar si es derivable para x = 0.

Gráfica del ejemplo 1

La continuidad en un punto (en este caso, x = 0) requiere que se cumplan estas tres condiciones:

1. Que exista f(0).

Existencia de f(0) en el ejemplo 1

Existe y es f(0) = 0.

2. Que exista el límite en el punto f(0), o lo que es lo mismo, que coincidan sus límites laterales.

Límites laterales en el ejemplo 1

Existe el límite, ya que coinciden sus límites laterales.

3. Que la imagen de 0 (f(0)) y el límite de la función en 0 coincidan.

Tercera condición que también se cumple, pues:

Imagen en el ejemplo 1

La función es continua para x = 0.

Para ver si es derivable en x = 0, sabemos que se cumple la condición necesaria de continuidad en ese punto. Hay que estudiar para confirmarlo que las derivadas laterales en x = 0 son iguales. Empezamos por la derivada lateral por la izquierda:

Cálculo 1 de la derivada lateral por la izquierda en el ejemplo 1

En este límite, el radicando en el numerador es siempre positivo, porque va elevado a una potencia par (a la cuarta), por lo que el numerador es positivo. El denominador es negativo porque tiende a cero por la izquierda, por lo que el resultado será:

Cálculo 2 de la derivada lateral por la izquierda en el ejemplo 1

Por el mismo procedimiento, la derivada por la derecha es:

Cálculo 1 de la derivada lateral por la derecha en el ejemplo 1

Por ser el numerador y el denominador positivos:

Las derivadas laterales no son iguales, por lo que la función no es derivable en x = 0.

Como la función es fácil de derivar (derivada de una potencia), comprobamos también la inexistencia de la derivada en x = 0, aplicando la regla:

Cálculo 2 de la derivada lateral por la derecha en el ejemplo 1

Como se puede observar en la siguiente imagen:

Gráfica final del ejemplo 1

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