Cinemática

CINEMÁTICA

Cinemática Movimiento rectilíneo Movimiento circular	Movimiento parabólico Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos prescindiendo de las causas que lo originan. Cinemática viene de la palabra griega kine, que significa movimiento. La palabra cine viene del movimiento de las imágenes.

Por ejemplo:

• El movimiento de un coche por una carretera.
• La caída de una manzana del árbol al suelo.
• El movimiento parabólico de un balón en un estadio de fútbol.

Una partícula se mueve si después de cierto tiempo ha cambiado de posición.

Tipos de movimiento

Existen varios tipos de movimiento, según la trayectoria que describa la partícula.

• Movimiento rectilíneo
  • Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): la partícula se desplaza por una trayectoria sobre una linea recta a velocidad constante con aceleración cero.
  • Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV): la partícula se mueve por una trayectoria sobre una linea recta con aceleración constante.
  • Movimiento rectilíneo con aceleración variada: la partícula se desplaza por una trayectoria sobre una linea recta a velocidad y aceleración variable.
• Movimiento circular
  • Movimiento circular uniforme (MCU): la partícula se desplaza por una trayectoria sobre una circunferencia a velocidad constante con aceleración cero.
  • Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA): la partícula se mueve con aceleración constante describiendo una trayectoria circular.
• Movimiento parabólico: es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido en el que la trayectoria que se describe es una parábola. Éste movimiento es el resultante de la aplicación simultánea y perpendicular de un MRU y otro MRUV.
  
• Movimientos periódicos: Son aquellos en los que para intervalos de tiempo iguales, son iguales también variables como la velocidad, la aceleración, la posición, etc. El movimiento periódico más simple es el ya citado MCU.
• Movimiento oscilatorio: Es un movimiento periódico en que el móvil recorre sucesivamente por una distancia máxima a una mínima respecto al centro de oscilación. Un caso es el péndulo.
• Movimiento vibratorio: En cada vibración el móvil pasa por un punto intermedio. Ejemplo, un diapasón vibrando.
• Movimiento armónico simple (M.A.S.): Este es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Se denomina simple porque no se tienen en cuenta los rozamientos o atenuaciones que le pudiera ocasionar el medio.

Elementos más importantes de la cinemática

• Sistema de referencia: es el objeto o espacio que se utiliza como referencia para afirmar si un cuerpo o partícula está o no en movimiento.
• Desplazamiento: movimiento de una partícula o cuerpo desde una posición inicial a una posición final.
• Trayectoria: es el recorrido que describe un cuerpo al desplazarse respecto de un sistema de referencia.
• Aceleración: es la variación en el tiempo de la velocidad.

Movimiento rectilíneo

El movimiento rectilíneo es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido sobre una línea recta.

Movimiento rectilíneo uniforme

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es el movimiento que describe un cuerpo o partícula a través de una línea recta a velocidad constante. Es decir:

• El movimiento es lineal en una única dirección
• La velocidad de desplazamiento es constante

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

El movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) es el movimiento de una partícula o cuerpo por una línea recta con una aceleración constante. Es decir:

• La partícula se desplaza por el eje de coordenadas.
• La velocidad aumenta (o disminuye) de manera lineal respecto al tiempo. Es decir, la aceleración es constante.

En este ejemplo vemos como el objeto va aumentando su velocidad uniformemente conforme va pasando el tiempo y avanza por su trayectoria.

Movimiento rectilíneo con aceleración variada

El movimiento rectilíneo con aceleración variada es el movimiento de una partícula o cuerpo sólido por una línea recta a velocidad y aceleración no constantes.

Movimiento circular

El movimiento circular es el que recorre una partícula o cuerpo por una circunferencia. Este movimiento tiene un eje y todos los puntos por los que pasa la partícula se encuentran a una distancia constante (r) del eje.

Existen diferentes variables o conceptos muy importantes para explicar el movimiento circular:

• Eje: punto fijo en el centro de la circunferencia por la que gira el cuerpo.
• Radio: distancia a la que gira el punto P sobre el eje O (en nuestro caso r).
• Posición: punto P en el que se encuentra la partícula.
• Velocidad angular: define la variación angular por unidad de tiempo (ω)
• Velocidad tangencial: es el módulo de la velocidad en cualquier punto del giro y viene definido como el recorrido, en unidades de longitud, que describe P por unidad de tiempo (v_t).
• Aceleración angular: es el incremento de velocidad angular por unidad de tiempo (α).
• Aceleración tangencial: se define como el incremento de velocidad lineal por unidad de tiempo (a_t).
• Aceleración centrípeta: componente que va dirigida hacia el centro de la circunferencia. Representa el cambio de dirección del vector velocidad (a_cen).
• Período: tiempo T que tarda la partícula en dar una vuelta al círculo.
• Frecuencia: número de vueltas f que recorre la partícula en una unidad de tiempo. Se expresa en ciclos/seg o hertzios.

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme (MCU) es el movimiento que describe una partícula cuando da vueltas sobre un eje estando siempre a la misma distancia (r) del mismo y desplazándose a una velocidad constante.

Movimiento circular uniformemente acelerado

El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.

En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P₁ a P₂ sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.

Movimiento parabólico

El movimiento parabólico es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido describiendo su trayectoria una parábola. Por ejemplo, el balón de fútbol cuando es chutado por un jugador y cae al suelo es un movimiento parabólico.

El movimiento parabólico se puede analizar como la unión de dos movimientos. Por un lado, la trayectoria en la proyección del eje de las x (el eje que va paralelo al suelo) describirá un movimiento rectilíneo uniforme. Por otro lado, la trayectoria de la partícula al elevarse o caer verticalmente (en proyección sobre el eje de las y) describirá un movimiento rectilíneo uniformemente variado, donde la aceleración es la gravedad.

Nota: la gravedad normalmente se considera g = 9.81 m/s².

Para hacernos una idea visual de los dos componentes del movimiento parabólico, imaginemos un lanzamiento de peso de atletismo.

Si pudiésemos seguir el recorrido de la bola verticalmente desde arriba, en el mismo plano vertical de la trayectoria, desde esa posición privilegiada veríamos la bola avanzar a una velocidad constante, desde la salida de la mano del atleta hasta que la bola toca el césped. Apreciaríamos un movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante).

Pero si nos pudiésemos situar sobre el césped, detrás de donde se ubican los jueces y que estuviésemos también justo en el plano vertical de la trayectoria (es decir, que lanzase hacia nosotros) nos daría la impresión de que la bola sube y baja como si se tratase de un lanzamiento vertical hacia arriba (movimiento rectilíneo uniformement variado).

Movimiento oscilatorio

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en que el móvil recorre sucesivamente por una distancia máxima a una mínima respecto al centro de oscilación. El caso más famoso es el péndulo.

Péndulo

El péndulo simple (o péndulo matemático) es un péndulo ideal que está formado por un punto material, o también una masa m (que suele llamarse “lenteja”) suspendida de un punto fijo S mediante un hilo sin masa e inextensible, de longitud l.

Cuando el péndulo está en reposo, el punto O representa la posición de equilibrio y el hilo está vertical (SO).

Si desplazamos la masa del punto de equilibrio O un ángulo φ, manteniendo el hilo extendido y la soltamos, el péndulo comenzará a oscilar.

Para que podamos considerar que se trata de un péndulo simple, además la amplitud A debe ser pequeña, es decir, un ángulo φ no mayor de 20°.

En caso contrario, el péndulo dejaría de ser un péndulo simple, aunque su movimiento seguiría siendo periódico.

En la imagen, un péndulo simple:

Siempre que se cumpla la condición de que se mueva con un ángulo pequeño, el periodo T o tiempo que tarda en pasar dos veces seguidas por el mismo punto y en el mismo sentido, viene dado por:

El periodo no depende de la amplitud, sino de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad en ese punto.

En donde ω es la pulsación o frecuencia angular. Es una constante, con unidades en radianes/segundo, de expresión:

Estas son unas fórmulas de la posición (x o elongación), la velocidad y la aceleración, las tres en función del tiempo t.

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo y, a su vez, la aceleración es la derivada de la velocidad, también respecto al tiempo.

El argumento de seno y coseno (ωt + δ) es la fase medida en radianes. δ es el desfase o la constante de fase. Depende de en qué momento empecemos a contar el tiempo.

Lo vemos en la imagen:

Las fórmulas para estas tres variables pueden venir expresadas de esta otra forma. Es lo mismo, ya que depende del momento en que se tome el origen, es decir, para t = 0.

En el segundo caso, el tiempo se cuenta a partir del momento de máxima elongación (x = A), mientras que en el primer caso, se ha empezado a medir el tiempo desde la posición de equilibrio O (x = 0).

Pero siempre, cuando se alcanza la máxima (o mínima, con valor negativo) elongación ±A, la velocidad se hace nula y la aceleración, con valor máximo, cambia de sentido. Al pasar por el punto de equilibrio O, la velocidad es máxima y la aceleración se hace cero y se invierte su sentido.

Cuando la oscilación tiene más amplitud, el movimiento del péndulo sigue siendo periódico, pero deja de ser un péndulo simple. Entonces, el periodo comienza a tener una dependencia de la amplitud de la oscilación, rigiéndose por esta fórmula:

Ejercicio 1

Hallar el periodo de un péndulo de 50 cm de longitud sometido a una aceleración de la gravedad de 9,81 m/s².

Ejercicio 2

Un reloj de péndulo funciona con exactitud en una latitud de 45° donde g = 9,806 m/s². Si se traslada un punto del ecuador de la Tierra, donde la gravedad es 9,78 m/s², de determinar en el nuevo emplazamiento cuánto adelantará o se atrasará en un dia.

En el ecuador, el reloj tiene un periodo un 1,3°‰ mayor que el que tenía en el paralelo 45° porque el denominador g es menor. El péndulo batirá más lentamente en el ecuador terrestre, por lo tanto allí el reloj atrasará.

Como en un dia hay 24 * 60 * 60 segundos, es decir 86400 segundos:

En el ecuador, el reloj atrasará casi 2 minutos diarios.

Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple, (M.A.S.) es un movimiento periódico, en el que un punto material o un cuerpo oscila, respecto del punto de equilibrio O con una aceleración proporcional al desplazamiento, aunque de signo opuesto. El movimiento se repite a lo largo de la recta x(t).

Es consecuencia de una fuerza recuperadora que depende de la distancia a la que se desplaza, según la ley de Hooke.

Si tenemos una cuerpo de masa m sujeto a un muelle con constante elástica k que se desliza horizontalmente, a partir de la posición de reposo, sobre una superficie sin rozamiento, oscilará a derecha e izquierda de O con un movimiento armónico simple.

En la imagen se ve la relación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. La proyección del punto que se mueve según un M.C.U. sobre el diámetro horizontal describe sobre él un movimiento armónico simple.

En el movimiento circular uniforme, la proyección sobre OX, es decir la coordenada x es:

Análogamente, la ecuación de la posición en el movimiento armónico simple es:

Aquí:

• A es la amplitud o máxima elongación.
• El argumento ωt + δ es la fase medida en radianes.
• ω es la pulsación o frecuencia angular, en radianes por segundo.
• t es el tiempo contado desde el momento en que se ha empezado a considerar el movimiento, en segundos.
• δ es el desfase o la constante de fase, o llamada también fase inicial. Depende de cuando se empiece a contar el tiempo.

Aquí hay que decir que la fórmula de la posición puede expresarse tanto con el coseno como con el seno, solamente depende del momento en que fijemos t = 0, ya que:

El máximo del coseno es +1 y el mínimo, -1, por lo que el movimiento oscila entre +A y -A.

La frecuencia angular o pulsación es:

El periodo T es el tiempo que tarda m en realizar una oscilación completa. La frecuencia f es el número de oscilaciones en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo:

De estos tres valores, pulsación ω, frecuencia f o periodo T, sabiendo uno de ellos, automáticamente sabremos los otros dos.

En un movimiento armónico simple tanto el periodo T y, por tanto, la frecuencia f son independientes de la amplitud A.

La velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la posición. La fórmula de la aceleración se obtendrá igualmente derivando la velocidad respecto al tiempo, quedando así:

Cuando la fase inicial δ = 0, estas ecuaciones se reducen a:

Gráficas de las funciones x, v y a cuando δ = 0. En este caso, se habrá comenzado a contar el tiempo del M.A.S. a partir del punto de la máxima elongación x = +A.

Otra fórmula (que no demostraremos) para saber la velocidad en función de la posición x, conociendo las condiciones iniciales de amplitud A y el periodo o la frecuencia es:

El signo ± se debe a que, en una oscilación completa, el cuerpo pasa por el mismo punto x en los dos sentidos.

Ejemplos de movimiento armónico simple

Ejemplo 1

Una masa de 1 kg está sujeta a un muelle en reposo, cuya k = 200 N/m. Calcular el periodo y la frecuencia de esta masa cuando se la aparta de la posición de equilibrio y se la suelta.

Solución:

Ejemplo 2

Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple en el que su velocidad máxima es de 0,4 m/s y su aceleración máxima de 16 m/s².

Determinar la pulsación ω, la frecuencia f y el periodo T . ¿Cuál será la ecuación de la posición en función del tiempo?

Solución:

Como la velocidad dada es la máxima y el valor máximo de la función seno es 1, tendremos:

También nos dan la aceleración máxima. El valor máximo de la función coseno es también 1.

Si dividimos miembro a miembro la ecuación obtenida de la aceleración máxima por la de la velocidad máxima, nos quedará el valor de la pulsación ω.

Si tenemos el valor de la pulsación, inmediatamente tenemos la frecuencia y el periodo.

En la ecuación de la velocidad máxima y sabiendo la pulsación, obtenemos la amplitud:

Con estos datos podemos escribir la ecuación de la posición en función del tiempo:

(Ha quedado sin determinar el valor de δ, el desfase, por no tener suficiente con los datos iniciales, que han sido suficientes para hallar los valores pedidos, aunque el valor de δ exista. Con las fórmulas empleadas, pues sabemos que, por ejemplo en la ecuación velocidad, podemos usar seno o coseno, dependiendo de δ, en este caso el desfase sería el siguiente).