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Teorema del valor medio

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El Teorema del Valor Medio o Teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto (que es a su vez derivable) pertenenciente al intervalo abierto c ∈ (a, b), en el se cumple que:

Fórmula del teorema del Valor Medio

Gráficamente:

Gráfica del teorema del Valor Medio

Como la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo α que forma la recta tangente en ese punto, las tangentes de los ángulos de las dos rectas, la recta secante que pasa por AB y la recta tangente en el punto (c, f(c)) son paralelas y la tangente de ambas es f’(c).

El teorema del Valor Medio es una generalización del teorema de Rolle puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Ejemplo

Determinar si en el intervalo [-3, 4] de la siguiente función se cumple el teorema del Valor Medio y, en su caso, en qué punto o puntos.

Enunciado del ejercicio 1

Como la función es polinómica, es continua y derivable en todo su dominio y, por tanto, también en los intervalos cerrado y abierto exigidos por el teorema. Por lo tanto existirá, al menos un punto que cumpla el teorema.

Vamos a aplicar la fórmula del teorema para hallar la derivada del punto o puntos que lo satisfagan:

Fórmula del teorema del Valor Medio

Hallemos los dos términos del numerador:

Primer término del numerador del ejercicio 1

Y:

Segundo término del numerador del ejercicio 1

Aplicamos la fórmula, porque los términos de denominador los conocemos:

Denominador del ejercicio 1

Hemos hallado el valor numérico de la derivada en c. Ahora derivamos la función siguiendo las reglas de las derivadas de las funciones polinómicas:

Derivada del ejercicio 1

Reemplazamos aquí la x por c e igualamos los segundos términos de la expresión hallada de f’(c) y de su valor 1,25.

Reemplazar en el ejercicio 1

Hemos llegado a una ecuación de segundo grado sin su término lineal, de la que obtendremos sus raíces:

Raíces en el ejercicio 1

Estas son los dos valores de las abscisas en donde se cumple el teorema del Valor Medio o de Lagrange: c1 = -2,08 y en c2 = 2,08. Como ambos valores se encuentran dentro del intervalo dado (-3, 4), se corresponden con dos puntos en los que el teorema se cumple (el teorema obliga a que se cumpla al menos en un punto).

Lo podemos ver en la imagen:

Gráfica del ejercicio 1 del Teorema de Lagrange

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