Teorema del valor medio

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El Teorema del Valor Medio o Teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto (que es a su vez derivable) pertenenciente al intervalo abierto c ∈ (a, b), en el se cumple que:

Fórmula del teorema del Valor Medio

Gráficamente:

Gráfica del teorema del Valor Medio

Como la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo α que forma la recta tangente en ese punto, las tangentes de los ángulos de las dos rectas, la recta secante que pasa por AB y la recta tangente en el punto (c, f(c)) son paralelas y la tangente de ambas es f’(c).

El teorema del Valor Medio es una generalización del teorema de Rolle puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Ejemplo

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Determinar si en el intervalo [-3, 4] de la siguiente función se cumple el teorema del Valor Medio y, en su caso, en qué punto o puntos.

Enunciado del ejercicio 1

Como la función es polinómica, es continua y derivable en todo su dominio y, por tanto, también en los intervalos cerrado y abierto exigidos por el teorema. Por lo tanto existirá, al menos un punto que cumpla el teorema.

Vamos a aplicar la fórmula del teorema para hallar la derivada del punto o puntos que lo satisfagan:

Fórmula del teorema del Valor Medio

Hallemos los dos términos del numerador:

Primer término del numerador del ejercicio 1

Y:

Segundo término del numerador del ejercicio 1

Aplicamos la fórmula, porque los términos de denominador los conocemos:

Denominador del ejercicio 1

Hemos hallado el valor numérico de la derivada en c. Ahora derivamos la función siguiendo las reglas de las derivadas de las funciones polinómicas:

Derivada del ejercicio 1

Reemplazamos aquí la x por c e igualamos los segundos términos de la expresión hallada de f’(c) y de su valor 1,25.

Reemplazar en el ejercicio 1

Hemos llegado a una ecuación de segundo grado sin su término lineal, de la que obtendremos sus raíces:

Raíces en el ejercicio 1

Estas son los dos valores de las abscisas en donde se cumple el teorema del Valor Medio o de Lagrange: c1 = -2,08 y en c2 = 2,08. Como ambos valores se encuentran dentro del intervalo dado (-3, 4), se corresponden con dos puntos en los que el teorema se cumple (el teorema obliga a que se cumpla al menos en un punto).

Lo podemos ver en la imagen:

Gráfica del ejercicio 1 del Teorema de Lagrange

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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