Segunda derivada

La segunda derivada, a la que llamaremos f’’(x), es una nueva función que se obtiene cuando se deriva (caso de que sea derivable) la función derivada f’(x) (a la que aquí llamaremos derivada primera) de la función inicial f(x).

Derivando reiteradamente (siempre que sigan siendo derivables), obtendremos nuevas funciones, llamadas derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. A partir de la derivada tercera f’’’(x), se suele usar la notación:

También se usa en derivadas sucesivas, a partir de la tercera, la notación con números romanos:

Hay funciones que tienen un número limitado de derivadas sucesivas:

Mientras que otras funciones admiten un número ilimitado de derivadas sucesivas:

En este caso, se llama derivada enésima f(x)ⁿ⁾ cuando se puede deducir una fórmula genérica que permita hallar cualquier derivada sucesiva. Representa la función de cualquier derivada sucesiva cuando se deriva n veces la función inicial f(x). Por ejemplo:

La derivada segunda se utiliza en análisis matemático para casos como determinar los máximos y mínimos, la curvatura (concavidad y convexidad), los puntos de inflexión o resolver problemas de optimización.

Ejercicio

Hallar las cuatro primeras derivadas de esta función:

Aplicando, en este caso, las reglas de derivación trigonométrica y la regla de la cadena, obtenemos sucesivamente: