Segunda derivada

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La segunda derivada, a la que llamaremos f’’(x), es una nueva función que se obtiene cuando se deriva (caso de que sea derivable) la función derivada f’(x) (a la que aquí llamaremos derivada primera) de la función inicial f(x).

Fórmula de la segunda derivada de una función

Derivando reiteradamente (siempre que sigan siendo derivables), obtendremos nuevas funciones, llamadas derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. A partir de la derivada tercera f’’’(x), se suele usar la notación:

Fórmula de las derivadas sucesivas

También se usa en derivadas sucesivas, a partir de la tercera, la notación con números romanos:

Fórmula de la tercera derivada

Hay funciones que tienen un número limitado de derivadas sucesivas:

Número limitado de derivadas sucesivas

Mientras que otras funciones admiten un número ilimitado de derivadas sucesivas:

Número ilimitado de derivadas sucesivas

En este caso, se llama derivada enésima f(x)n) cuando se puede deducir una fórmula genérica que permita hallar cualquier derivada sucesiva. Representa la función de cualquier derivada sucesiva cuando se deriva n veces la función inicial f(x). Por ejemplo:

Fórmula de las derivadas enésimas

La derivada segunda se utiliza en análisis matemático para casos como determinar los máximos y mínimos, la curvatura (concavidad y convexidad), los puntos de inflexión o resolver problemas de optimización.

Ejercicio

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Hallar las cuatro primeras derivadas de esta función:

Enunciado del ejercicio 1

Aplicando, en este caso, las reglas de derivación trigonométrica y la regla de la cadena, obtenemos sucesivamente:

Resultado del ejercicio 1

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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