Cargando...La derivada de un producto de dos funciones f(x) y g(x) derivables en un mismo intervalo I, tal como:
Es igual a la suma de la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda función.
Efectivamente, la derivada de la multiplicación de funciones no es necesariamente el producto de sus funciones derivadas.
La fórmula de la derivada del producto de dos funciones es:
Corolario:
a) La fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones (f, g y h) que cumplan las mismas condiciones de derivabilidad que en el caso del producto de dos es:
Y por la propiedad asociativa del producto, es la siguiente:
b) La derivada del producto de un número por una función:
Sustituyendo g(x) por el número k es el producto de este número por la derivada de la función.
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada de este producto:
Se derivan los dos factores:
Aplicando la fórmula de la derivada del producto:
Ejercicio 2
Hallar la derivada de la multiplicación de estas funciones:
Se derivan los dos factores:
Como en el ejercicio anterior, aplicando la fórmula de la derivada del producto:
Desarrollar y simplificar:
Ejercicio 3
Hallar la derivada de este producto de tres funciones:
Se derivan los tres factores:
Aplicación de la fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones:
Ejercicio 4
Hallar la derivada de este producto:
Como es el producto de un número per una función, aplicamos la fórmula de la derivada correspondiente a este producto:
Demostración de la derivada de la multiplicación de funciones
Para demostrar la fórmula de la derivada del producto, recurriremos a la definición de la derivada mediante un límite:
Aquí tenemos el producto de dos funciones de x que es otra función de x a la que podremos llamar, como se ha dicho antes:
No hay inconveniente en hacer:
Siguiendo con la anterior fórmula de la definición de derivada, pondremos las funciones f y g, introduciendo luego en el numerador un término que sume y reste (en rojo) que, por tanto, no altera el resultado:
Por las propiedades de los límites, convertimos el límite de una suma en la suma de los límites, a la vez que sacamos factor común f(x + Δx) y g(x):
Conocemos el siguiente límite:
Este límite hallado sale fuera del límite del primer sumando y, en el segundo límite, sale fuera, como factor, g(x) al no estar afectado por él, quedando:
Expresión que no es otra cosa que la derivada de la multiplicación de funciones que se quería demostrar y que es: