Derivada de un producto

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La derivada de un producto de dos funciones f(x) y g(x) derivables en un mismo intervalo I, tal como:

Producto de funciones

Es igual a la suma de la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda función.

Efectivamente, la derivada de la multiplicación de funciones no es necesariamente el producto de sus funciones derivadas.

La fórmula de la derivada del producto de dos funciones es:

Fórmula de la derivada de un producto de funciones

Corolario:

a) La fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones (f, g y h) que cumplan las mismas condiciones de derivabilidad que en el caso del producto de dos es:

Producto de tres funciones

Y por la propiedad asociativa del producto, es la siguiente:

Fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones

b) La derivada del producto de un número por una función:

Fórmula de la derivada de una constante por una función

Sustituyendo g(x) por el número k es el producto de este número por la derivada de la función.

Fórmula 2 de la derivada de una constante por una función

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de este producto:

Enunciado del ejercicio 1

Se derivan los dos factores:

Derivada de los factores del ejercicio 1

Aplicando la fórmula de la derivada del producto:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

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Hallar la derivada de la multiplicación de estas funciones:

Enunciado del ejercicio 2

Se derivan los dos factores:

Derivada de los factores del ejercicio 2

Como en el ejercicio anterior, aplicando la fórmula de la derivada del producto:

Simplificando en el ejercicio 2

Desarrollar y simplificar:

Resultado del ejercicio 2

Ejercicio 3

Hallar la derivada de este producto de tres funciones:

Enunciado del ejercicio 3

Se derivan los tres factores:

Derivada de los factores del ejercicio 3

Aplicación de la fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones:

Resultado del ejercicio 3

Ejercicio 4

Hallar la derivada de este producto:

Enunciado del ejercicio 4

Como es el producto de un número per una función, aplicamos la fórmula de la derivada correspondiente a este producto:

Resultado del ejercicio 4

Demostración de la derivada de la multiplicación de funciones

Para demostrar la fórmula de la derivada del producto, recurriremos a la definición de la derivada mediante un límite:

Fórmula de la definición de derivada

Aquí tenemos el producto de dos funciones de x que es otra función de x a la que podremos llamar, como se ha dicho antes:

Producto de funciones

No hay inconveniente en hacer:

Definición de la fórmula en la demostración

Siguiendo con la anterior fórmula de la definición de derivada, pondremos las funciones f y g, introduciendo luego en el numerador un término que sume y reste (en rojo) que, por tanto, no altera el resultado:

Numerador en la demostración

Por las propiedades de los límites, convertimos el límite de una suma en la suma de los límites, a la vez que sacamos factor común f(x + Δx) y g(x):

Límite en la demostración

Conocemos el siguiente límite:

Límite 2 en la demostración

Este límite hallado sale fuera del límite del primer sumando y, en el segundo límite, sale fuera, como factor, g(x) al no estar afectado por él, quedando:

Final de la demostración

Expresión que no es otra cosa que la derivada de la multiplicación de funciones que se quería demostrar y que es:

Fórmula de la derivada de un producto de funciones

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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