Derivadas laterales

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Las derivadas laterales permiten saber si una función tiene derivada en un punto. Y también si existe la función derivada.

Dado que la derivada en un punto de una función es el límite de la tasa de variación media en dicho punto, igualmente se pueden estudiar si existen en él los limites laterales. De esa manera aparece la noción de las derivadas laterales.

La derivada por la izquierda en el punto a del dominio de f(x), es el siguiente límite, si este existe:

Fórmula de la derivada por la izquierda

Como se ve en la figura:

Gráfica de la derivada por la izquierda

La derivada por la derecha en el punto a del dominio de f(x), es el siguiente límite, si este existe:

Fórmula de la derivada por la derecha

Como se vepuede observar en la figura:

Gráfica de la derivada por la derecha

La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha y ambas derivadas laterales son iguales:

Fórmula de la función derivable por las derivadas laterales

Derivabilidad y continuidad

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La función f(x) es derivable en un punto a si y solo si es derivable por la izquierda y la derecha de a y ambas derivadas laterales son iguales.

La continuidad de una función o de uno de sus intervalos no indica que ésta sea necesariamente derivable.

Contrariamente, toda función o intervalo de función que sea derivable sí que es continua.

Cuando en un punto de una función no hay continuidad no tiene sentido hallar la derivada en ese punto.

La continuidad de una función en un punto, en un intervalo, o en todo su dominio, es una condición necesaria, pero no suficiente para que ésta sea derivable.

En lenguaje no formal, para que una función sea derivable, además de que no hayan saltos en su gráfica, no debe de tener picos, puntos angulosos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y, además, derivable por la derecha en a y derivable por la izquierda en b.

Ejercicio

Averiguar, empleando las derivadas laterales, si la función f(x) = |x| es derivable en su punto x =  0.

Gráfica del ejemplo 1

Obtenemos la derivadas según el procedimiento para la derivada de la función valor absoluto, que podemos consultar en tabla de derivadas.

Pero, por la propia definición de derivada, que es un límite, y teniendo en cuenta el signo que impone la función valor absoluto, la derivada por la izquierda es:

Cálculo de la derivada por la izquierda en el ejemplo 1

Igualmente, la derivada por la derecha es:

Cálculo de la derivada por la derecha en el ejemplo 1

Como las derivadas laterales no son iguales, la función f(x) = |x| no es derivable en el punto x = 0. f(x) = |x| es continua y es derivable en todo su dominio excepto para x = 0 en el que la derivada no está definida.

En la gráfica, vemos que tiene un punto anguloso precisamente en x = 0, lo que confirma que no es derivable en ese punto.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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