Límites laterales

Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y éstos coinciden.

El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único.

Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a a por la izquierda o por la derecha. Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos L₁ y/o el límite lateral por la derecha, al que llamaremos L₂.

Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, L₁ = L₂.

Ejercicios

Ejercicio 1

Veamos esta función:

Queremos averiguar si existe el límite cuando x → 1.

Si sustituimos el valor de x por 1 llegamos a una indeterminación del tipo número partido por cero que requiere operaciones posteriores.

Vamos, pues, a hallar sus límites laterales, dando en primer lugar valores a x cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 (nos acercamos a 1 por la izquierda).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la izquierda, L₁ tiende a -∞.

Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 (nos acercamos a 1 por la derecha).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la derecha L₂ tiende a +∞.

Como se ve en la gráfica:

Como los dos límites laterales no son iguales, no existe el límite en la función cuando x → 1.

Ejercicio 2

Averiguar el límite, si existe, de esta función cuando la variable x → -2.

Veamos esta función, del tipo función definida a trozos:

No podemos sustituir el valor de x por -2 porque esta función no tiene imagen, no está definida para x = -2.

Vamos a estudiar los límites laterales para ver si existe el límite y, en su caso, su valor.

Vamos a darle a x valores cada vez más próximos a -2, pero menores que -2 (nos acercamos a -2 por la izquierda). Como se ve en la tabla:

Se ve en el cuadro que si x se acerca a -2 por la izquierda, L₁ tiende a -4.

Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a -2, pero mayores que -2 (nos acercamos a -2 por la derecha).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a -2 por la derecha, L₂ tiende a -4.

Como los dos límites laterales coinciden, el límite de esta función existe, pues L₁ = L₂ = L = -4.

Como se ve en la figura:

Es decir:

Aunque esta función se ha dicho antes que no tiene imagen para x = -2 :

Límites laterales por la izquierda

Se denomina límite por la izquierda (o límite lateral por la izquierda), al que llamaremos L₁ de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, c) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.

Se escribe:

Para cualquier valor muy pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L₁| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (en el ejemplo de la tabla, a^– = 2) y, al mismo tiempo, la función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, L₁.

Límtes laterales por la derecha

Se denomina límite por la derecha (o límite lateral por la derecha), al que llamaremos L₂ de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, b) y en un punto a, al valor que toma esta función f(x), cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, pero siendo x > a.

Se escribe:

Para cualquier valor tan pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < x – a < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L₁| < ε.

Para cualquier valor tan pequeño como se quiera y positivo δ > 0 se corresponde otro también positivo ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L₂| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a (en el ejemplo de la tabla a^– = 2) por la derecha y, al mismo tiempo, la función f(x) se aproxima por la derecha a L₂.