Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y éstos coinciden.
El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único.
Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a a por la izquierda o por la derecha. Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos L1 y/o el límite lateral por la derecha, al que llamaremos L2.
Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, L1 = L2.
Ejercicios
Ejercicio 1
Veamos esta función:

Queremos averiguar si existe el límite cuando x → 1.

Si sustituimos el valor de x por 1 llegamos a una indeterminación del tipo número partido por cero que requiere operaciones posteriores.
Vamos, pues, a hallar sus límites laterales, dando en primer lugar valores a x cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 (nos acercamos a 1 por la izquierda).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la izquierda, L1 tiende a -∞.
Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 (nos acercamos a 1 por la derecha).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la derecha L2 tiende a +∞.
Como se ve en la gráfica:

Como los dos límites laterales no son iguales, no existe el límite en la función cuando x → 1.

Ejercicio 2
Averiguar el límite, si existe, de esta función cuando la variable x → -2.
Veamos esta función, del tipo función definida a trozos:

No podemos sustituir el valor de x por -2 porque esta función no tiene imagen, no está definida para x = -2.
Vamos a estudiar los límites laterales para ver si existe el límite y, en su caso, su valor.
Vamos a darle a x valores cada vez más próximos a -2, pero menores que -2 (nos acercamos a -2 por la izquierda). Como se ve en la tabla:

Se ve en el cuadro que si x se acerca a -2 por la izquierda, L1 tiende a -4.
Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a -2, pero mayores que -2 (nos acercamos a -2 por la derecha).

Se ve en el cuadro que si x se acerca a -2 por la derecha, L2 tiende a -4.
Como los dos límites laterales coinciden, el límite de esta función existe, pues L1 = L2 = L = -4.
Como se ve en la figura:

Es decir:

Aunque esta función se ha dicho antes que no tiene imagen para x = -2 :

Límites laterales por la izquierda
Se denomina límite por la izquierda (o límite lateral por la izquierda), al que llamaremos L1 de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, c) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.
Se escribe:

Para cualquier valor muy pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L1| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (en el ejemplo de la tabla, a– = 2) y, al mismo tiempo, la función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, L1.

Límtes laterales por la derecha
Se denomina límite por la derecha (o límite lateral por la derecha), al que llamaremos L2 de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, b) y en un punto a, al valor que toma esta función f(x), cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, pero siendo x > a.
Se escribe:

Para cualquier valor tan pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < x – a < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L1| < ε.
Para cualquier valor tan pequeño como se quiera y positivo δ > 0 se corresponde otro también positivo ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L2| < ε.

Veamos como los valores de x se aproximan a a (en el ejemplo de la tabla a– = 2) por la derecha y, al mismo tiempo, la función f(x) se aproxima por la derecha a L2.

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