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Límites laterales

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Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y éstos coinciden.

El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único.

Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a a por la izquierda o por la derecha. Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos L1 y/o el límite lateral por la derecha, al que llamaremos L2.

Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, L1 = L2.

Ejercicios

Ejercicio 1

Veamos esta función:

Fórmula de la función en el ejemplo 1 de límites laterales

Queremos averiguar si existe el límite cuando x → 1.

Límite cuando x tiende a 1 en el ejemplo 1 de límites laterales

Si sustituimos el valor de x por 1 llegamos a una indeterminación del tipo número partido por cero que requiere operaciones posteriores.

Vamos, pues, a hallar sus límites laterales, dando en primer lugar valores a x cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 (nos acercamos a 1 por la izquierda).

Tabla para el límite lateral por la izquierda en el ejemplo 1 de límites laterales

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la izquierda, L1 tiende a -∞.

Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 (nos acercamos a 1 por la derecha).

Tabla para el límite lateral por la derecha en el ejemplo 1 de límites laterales

Se ve en el cuadro que si x se acerca a 1 por la derecha L2 tiende a +∞.

Como se ve en la gráfica:

Gráfica del ejemplo 1 de límites laterales

Como los dos límites laterales no son iguales, no existe el límite en la función cuando x → 1.

No existencia de límite en el ejemplo 1 de límites laterales

Ejercicio 2

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Averiguar el límite, si existe, de esta función cuando la variable x → -2.

Veamos esta función, del tipo función definida a trozos:

Fórmula de la función en el ejemplo 2 de límites laterales

No podemos sustituir el valor de x por -2 porque esta función no tiene imagen, no está definida para x = -2.

Vamos a estudiar los límites laterales para ver si existe el límite y, en su caso, su valor.

Vamos a darle a x valores cada vez más próximos a -2, pero menores que -2 (nos acercamos a -2 por la izquierda). Como se ve en la tabla:

Tabla para el límite lateral por la izquierda en el ejemplo 2 de límites laterales

Se ve en el cuadro que si x se acerca a -2 por la izquierda, L1 tiende a -4.

Ahora daremos valores a x cada vez más próximos a -2, pero mayores que -2 (nos acercamos a -2 por la derecha).

Tabla para el límite lateral por la derecha en el ejemplo 2 de límites laterales

Se ve en el cuadro que si x se acerca a -2 por la derecha, L2 tiende a -4.

Como los dos límites laterales coinciden, el límite de esta función existe, pues L1 = L2 = L = -4.

Como se ve en la figura:

Gráfica del ejemplo 2 de límites laterales

Es decir:

Cálculo del límite en el ejemplo 2 de límites laterales

Aunque esta función se ha dicho antes que no tiene imagen para x = -2 :

Cálculo de la imagen en el ejemplo 2 de límites laterales

Límites laterales por la izquierda

Se denomina límite por la izquierda (o límite lateral por la izquierda), al que llamaremos L1 de una función f(x) definida en el intervalo abierto (ac) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.

Se escribe:

Fórmula del límite lateral por la izquierda

Para cualquier valor muy pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L1| < ε.

Dibujo del límite lateral por la izquierda

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (en el ejemplo de la tabla, a = 2) y, al mismo tiempo, la función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, L1.

Tabla en un ejemplo del límite lateral por la izquierda

Límtes laterales por la derecha

Se denomina límite por la derecha (o límite lateral por la derecha), al que llamaremos L2 de una función f(x) definida en el intervalo abierto (ab) y en un punto a, al valor que toma esta función f(x), cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, pero siendo x > a.

Se escribe:

Fórmula del límite lateral por la derecha

Para cualquier valor tan pequeño δ > 0 se corresponde otro ε > 0, de manera que siempre que 0 < x – a < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L1| < ε.

Para cualquier valor tan pequeño como se quiera y positivo δ > 0 se corresponde otro también positivo ε > 0, de manera que siempre que 0 < a – x < δ debe de cumplirse que: |f(x) – L2| < ε.

Dibujo del límite lateral por la derecha

Veamos como los valores de x se aproximan a a (en el ejemplo de la tabla a = 2) por la derecha y, al mismo tiempo, la función f(x) se aproxima por la derecha a L2.

Tabla en un ejemplo del límite lateral por la derecha

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