Recta

Una recta es el lugar geométrico de los infinitos puntos del plano que, si se toman de dos en dos, mantienen una pendiente única y están alineados.

También se puede definir la recta como el conjunto infinito de puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen una determinada ecuación lineal.

La recta tiene una dirección y una dimensión, que es la longitud. La longitud de una recta no tiene fin, no se puede medir.

Una recta suele denominarse por una letra minúscula. Por ejemplo r. También puede representarse por esta notación, si conocemos dos de sus puntos:

Una recta queda determinada en un sistema de referencia (que aquí lo referiremos al plano cartesiano) por:

• Un punto de la recta y un vector libre. Se llama vector director de la recta y tiene su misma dirección.
• Un punto y la pendiente de la recta.
• Dos puntos.

• Semirrecta
• Ecuaciones de la recta
  • Ecuación general de la recta
  • Ecuación punto pendiente de la recta
  • Ecuación ordinaria de la recta
• Pendiente de una recta
• Posición relativa de dos rectas
• Distancia de un punto a una recta
• Distancia entre dos rectas paralelas
• Ángulo entre dos rectas

Semirrecta

Una recta se puede dividir en dos semirrectas y en segmentos.

Una semirrecta es el conjunto de puntos de la misma, resultado de cortarla a partir de uno de sus puntos, que se llama origen de la semirrecta. Su longitud es también infinita. Toda semirrecta tiene una semirrecta opuesta con la que comparte el punto de origen, aunque sus direcciones son contrarias. Su representación es:

Y, gráficamente:

Un segmento es un tramo de una línea recta con principio y fin. Tiene longitud. Su representación es:

Ecuaciones de la recta

Las ecuaciones de la recta marcan la relación que deben cumplir las coordenadas de un punto para que éste pertenezca a la recta.

Estas son unas formas de la ecuación de la recta en el plano:

• Ecuación vectorial
• Ecuaciones paramétricas
• Ecuación continua
• Ecuación general de la recta
• Ecuación ordinaria (o explícita)
• Ecuación punto-pendiente
• Ecuación punto-punto
• Ecuación en forma simétrica

Ecuación vectorial

Sea una recta r del plano cartesiano determinada por uno de sus puntos P y un vector director de dicha recta. Si t es un número real llamado parámetro, cualquier punto de la recta X, con un vector de posición x quedará determinado por esta ecuación, llamada ecuación vectorial de la recta:

El número t representa las veces que el vector PX contiene al vector unitario. Dando valores a t obtendremos diferentes puntos X de la recta r representados por el correspondiente vector de posición de cada punto X.

La ecuación factorial arriba mostrada se forma por la suma vectorial del vector posición del punto P y el vector de cualquier punto de la recta PX. Como se ve en la siguiente figura:

La determinación vectorial de una recta tiene esta notación:

(x, y) son las coordenadas en el plano del punto X, las de P(x_p, y_p) y las del vector unitario v(v_x, v_y). Entonces la ecuación vectorial de la recta la podremos escribir también así:

Dando valores a t, el punto X puede recorrer los puntos de la recta:

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano se pueden deducir de la anterior expresión de la ecuación vectorial:

Ecuación continua

Las ecuaciones continuas de la recta en el plano se desprenden de las ecuaciones paramétricas, al despejar el parámetro t e igualar los resultados.

Que indican la proporcionalidad entre las componentes cartesianas del vector PX y las componentes cartesianas correspondientes del vector unitario v.

Puede existir un cero en uno de los denominadores. Sería el caso de una recta horizontal o vertical.

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta (o ecuación implícita) se obtiene eliminando los denominadores en la ecuación continua:

En la que A y B no pueden ser nulos a la vez. La ecuación general se debe presentar de forma que A sea positiva.

Ecuación ordinaria

La ecuación ordinaria de la recta (o ecuación explícita) se obtiene al despejar de la ecuación general la variable y, siempre que B sea distinta de cero. Se denomina también forma principal u ordinaria de la ecuación de la recta.

Cuando x = 0, entonces y = b. Por eso a b se le llama ordenada en el origen.

Como dos puntos determinan una recta, con ellos podemos obtener su pendiente. El valor de la pendiente también se puede obtener a partir de la ecuación general:

La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con la rama positiva del eje X, y m = tan α.

Cuando m > 0 la recta es ascendente, cuando m < 0 la recta es descendente. Si m = 0 la recta es horizontal. Cuando la recta es vertical, decimos que tiene una pendiente indeterminada (o infinita), pues así es la tangente de 90°.

Ecuación punto-pendiente

La ecuación punto-pendiente de la recta se plantea si se conoce la pendiente de la recta y uno de sus puntos:

Ecuación punto-punto

Sean dos puntos conocidos de la recta A(x₁, y₁ y B(x₂, y₂. La ecuación punto-punto de la recta deriva de la ecuación punto-pendiente y de la expresión conocida de m:

Ecuación en forma simétrica

Cuando se conocen los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas: corte en las abscisas (a, 0) y corte con el eje Y (0, b), sabiendo que (b) es la ordenada en el origen), podemos escribir:

Estos puntos de corte se obtienen de la ecuación general así:

Posiciones relativas entre dos rectas

Las posiciones relativas entre dos rectas en el plano son tres:

1. Rectas secantes
2. Rectas perpendiculares
3. Rectas paralelas
4. Rectas coincidentes

1. Rectas que se cortan (rectas secantes). Para que se corten se debe de cumplir:

O, lo que es lo mismo:

Deben tener pendientes distintas.

2. Un caso particular de dos rectas secantes son las rectas perpendiculares. Sus pendientes son inversas y de signo contrario. La condición se expresa alternativamente así:

Dependiendo de si las ecuaciones están en forma general, explícita o simétrica.

3. Rectas paralelas. Tienen la misma pendiente. La condición se expresa así:

O, igualmente:

4. Rectas coincidentes. Comparten pendiente y, además, la ordenada en el origen. La condición se expresa así:

O, igualmente:

Estas posiciones se pueden observar en la siguiente imagen:

Distancias en las rectas

A continuación vamos a ver como se calculan las distancias entre diferentes elementos de las rectas.

Distancia entre dos puntos de una recta

Sabiendo las coordenadas de dos puntos de la recta P₁ (x₁,y₁) y P₂ (x₂,y₂), la distancia se obtiene por el teorema de Pitágoras:

Distancia entre un punto y una recta

Sabiendo las coordenadas del punto P (x_p,y_p) y la ecuación general de la recta, la distancia se obtiene por la fórmula:

Hay que poner la ecuación de la recta en su forma general y sustituir en la ecuación los valores de las coordenadas del punto. El resultado se expresa en valor absoluto.

Distancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas se puede hallar de dos maneras:

1. Averiguando las coordenadas de un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo, haciendo en su ecuación x = 0, hallar la abscisa del punto de corte en Y. Entonces, aplicar la fórmula de la distancia entre ese punto y la otra recta, según la fórmula anterior:

2. Al ser paralelas las dos rectas, los coeficientes de sus ecuaciones generales deben cumplir esta condición:

Por lo que se pueden transformar las ecuaciones para que los coeficientes A y B sean iguales, multiplicando o dividiendo una de ellas por una constante. Con esa transformación aparecerá una nueva pareja de coeficientes libres C y C’:

Este fórmula solamente se puede aplicar, como se ha dicho, cuando previamente se hayan igualado en las dos ecuaciones generales de las dos rectas paralelas los coeficientes A y B.

Ángulo de dos rectas que se cortan

El ángulo de dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular por dos procedimientos: a partir de sus vectores directores o a partir de sus pendientes.

El ángulo se puede obtener a través del producto escalar de sus vectores directores:

El otro procedimiento, más sencillo, es a partir de sus pendientes, que son los coeficientes m₁ y m₂ de la x de las ecuaciones de las rectas secantes puestas en forma explícita u ordinaria:

Se toma el ángulo menor.

Bisectrices de dos rectas que se cortan

Las ecuaciones de las dos bisectrices de dos rectas que se cortan, sabiendo sus ecuaciones:

Se obtiene de la fórmula, que tiene dos soluciones, una por bisectriz, según los dos signos de la fórmula:

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a otra recta r, 2x + 3y – 6 = 0 que la corta en el punto de encuentro de la recta r con el eje de las abscisas. Poner la ecuación de s en su forma general:

Solución:

El punto de corte es (3, 0).

La pendiente de r es -2/3. Por lo que la pendiente de la recta perpendicular será su inversa negativa, es decir m_s = 3/2. Podemos plantear la ecuación punto-pendiente de la perpendicular s en el punto de corte (3, 0).

La imagen de estas rectas será:

Ejercicio 2

Estudiar la posición relativa de estos tres pares de rectas:

Solución:

Ejercicio 3:

Averiguar el ángulo que forman estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o sus pendientes) son diferentes:

Solución:

Se aplica la fórmula del ángulo de dos rectas secantes en función de las pendientes:

Véase la imagen:

Ejercicio 4:

a. Encontrar el punto de corte de estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o pendientes) son diferentes:

b. Resolver el problema pero expresando las ecuaciones de las rectas en su forma general o implícita:

Solución:

a. Las coordenadas del punto de corte se averiguaran resolviendo este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Se resolverá por el método de igualación, puesto que en ambas está despejada la y:

b. Las ecuaciones de las dos rectas expresadas en la forma general son:

El punto de corte hallado es el (3,4).

Planteadas de forma general, se resolverán por el método de reducción.

Se multiplicaran todos los términos de la segunda ecuación por -2 para, al sumarlas término a término, quede eliminada la x:

Obteniendo el mismo resultado: (3,4).

Ejercicio 5:

a. Comprobar que las rectas r, y s son paralelas. (r está expresada en ecuación explícita u ordinaria, mientras que s lo está en la forma general):

b. Hallar la distancia entre ambas rectas, en el caso de que sean paralelas.

Solución:

a. Para comprobar el posible paralelismo hay que comparar la igualdad de las pendientes y que las ordenadas en el origen sean distintas. Para hacerlo, se pasa la segunda ecuación a la forma explícita:

Son paralelas, porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en origen.

También se puede comprobar el paralelismo con las fórmulas que se derivan de la comparación a partir de las dos ecuaciones puestas en la forma general:

Y se hace la comprobación, viendo que existe el paralelismo:

b. La distancia entre las paralelas la obtenemos de la fórmula que emplea los coeficientes de las ecuaciones puestas en forma general y reducidos los coeficientes de las variables. En este caso no es necesario operar porque los coeficientes A = 1 y B = 4 ya son iguales en las dos:

La distancia es 3,88.

Se ve en la imagen:

Ejercicio 6:

Esta recta está expresada con su ecuación general:

a. Hacer las transformaciones para llegar a la ecuación explícita.

b. Obtener la ecuación en forma simétrica.

c. Averiguar la pendiente de la recta.

Solución:

a. Despejando la variable y se obtiene la forma explícita:

b. Para obtener los coeficientes a y b de la ecuación puesta en forma simétrica, hallaremos los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas, igualando sucesivamente a cero la y y la x, por ejemplo a partir de la ecuación en forma general:

Los puntos de corte con los ejes son (0, 2) y (-3, 0). Así podemos escribir la ecuación en forma simétrica:

c. Se pide la pendiente, que la podemos obtener a partir de dos puntos de la recta. Tenemos las intersecciones con los ejes X e Y que antes hemos averiguado:

La pendiente es m = 2/3, que, como sabemos, coincide con el coeficiente de la x en la ecuación puesta en forma explícita. El valor de m es positivo, por lo que la pendiente es ascendente o creciente.

El resultado del ejercicio se ve en la imagen:

Ejercicio 7

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas secantes, en que sus ecuaciones son:

Solucion:

Se aplica la ecuación de las bisectrices:

En la que se colocan los datos y se resuelve:

La primera bisectriz se ha obtenido con el signo “+”:

La segunda con el signo “-”: