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Una recta es el lugar geométrico de los infinitos puntos del plano que, si se toman de dos en dos, mantienen una pendiente única y están alineados.

También se puede definir la recta como el conjunto infinito de puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen una determinada ecuación lineal.

La recta tiene una dirección y una dimensión, que es la longitud. La longitud de una recta no tiene fin, no se puede medir.

Una recta suele denominarse por una letra minúscula. Por ejemplo r. También puede representarse por esta notación, si conocemos dos de sus puntos:

Fórmula de la expresión de una recta

Una recta queda determinada en un sistema de referencia (que aquí lo referiremos al plano cartesiano) por:

Semirrecta

Una recta se puede dividir en dos semirrectas y en segmentos.

Una semirrecta es el conjunto de puntos de la misma, resultado de cortarla a partir de uno de sus puntos, que se llama origen de la semirrecta. Su longitud es también infinita. Toda semirrecta tiene una semirrecta opuesta con la que comparte el punto de origen, aunque sus direcciones son contrarias. Su representación es:

Fórmula de la expresión de una semirrecta

Y, gráficamente:

Dibujo de una semirrecta

Un segmento es un tramo de una línea recta con principio y fin. Tiene longitud. Su representación es:

Dibujo de un segmento

Ecuaciones de la recta

Las ecuaciones de la recta marcan la relación que deben cumplir las coordenadas de un punto para que éste pertenezca a la recta.

Estas son unas formas de la ecuación de la recta en el plano:

Ecuación vectorial

Sea una recta r del plano cartesiano determinada por uno de sus puntos P y un vector director de dicha recta. Si t es un número real llamado parámetro, cualquier punto de la recta X, con un vector de posición x quedará determinado por esta ecuación, llamada ecuación vectorial de la recta:

Fórmula de la ecuación vectorial de la recta

El número t representa las veces que el vector PX contiene al vector unitario. Dando valores a t obtendremos diferentes puntos X de la recta r representados por el correspondiente vector de posición de cada punto X.

La ecuación factorial arriba mostrada se forma por la suma vectorial del vector posición del punto P y el vector de cualquier punto de la recta PX. Como se ve en la siguiente figura:

Dibujo de la ecuación vectorial de la recta

La determinación vectorial de una recta tiene esta notación:

Fórmula de la determinación vectorial en la ecuación vectorial de la recta

(x, y) son las coordenadas en el plano del punto X, las de P(xp, yp) y las del vector unitario v(vx, vy). Entonces la ecuación vectorial de la recta la podremos escribir también así:

Fórmula 2 de la ecuación vectorial de la recta

Dando valores a t, el punto X puede recorrer los puntos de la recta:

Dibujo de los puntos de la ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano se pueden deducir de la anterior expresión de la ecuación vectorial:

Fórmula de las ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua

Las ecuaciones continuas de la recta en el plano se desprenden de las ecuaciones paramétricas, al despejar el parámetro t e igualar los resultados.

Fórmula de las ecuaciones continuas de la recta

Que indican la proporcionalidad entre las componentes cartesianas del vector PX y las componentes cartesianas correspondientes del vector unitario v.

Puede existir un cero en uno de los denominadores. Sería el caso de una recta horizontal o vertical.

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta (o ecuación implícita) se obtiene eliminando los denominadores en la ecuación continua:

Fórmula de la ecuación general de la recta

En la que A y B no pueden ser nulos a la vez. La ecuación general se debe presentar de forma que A sea positiva.

Ecuación ordinaria

La ecuación ordinaria de la recta (o ecuación explícita) se obtiene al despejar de la ecuación general la variable y, siempre que B sea distinta de cero. Se denomina también forma principal u ordinaria de la ecuación de la recta.

Fórmula de la ecuación explícita de la recta

Cuando x = 0, entonces y = b. Por eso a b se le llama ordenada en el origen.

Como dos puntos determinan una recta, con ellos podemos obtener su pendiente. El valor de la pendiente también se puede obtener a partir de la ecuación general:

Cálculo de la pendiente y la ordenada en la ecuación explícita de la recta

La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con la rama positiva del eje X, y m = tan α.

Cuando m > 0 la recta es ascendente, cuando m < 0 la recta es descendente. Si m = 0 la recta es horizontal. Cuando la recta es vertical, decimos que tiene una pendiente indeterminada (o infinita), pues así es la tangente de 90°.

Clasificación de las rectas según su pendiente

Ecuación punto-pendiente

La ecuación punto-pendiente de la recta se plantea si se conoce la pendiente de la recta y uno de sus puntos:

Fórmula de la ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-punto

Sean dos puntos conocidos de la recta A(x1, y1 y B(x2, y2. La ecuación punto-punto de la recta deriva de la ecuación punto-pendiente y de la expresión conocida de m:

Fórmula de la ecuación punto-punto de la recta

Ecuación en forma simétrica

Cuando se conocen los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas: corte en las abscisas (a, 0) y corte con el eje Y (0, b), sabiendo que (b) es la ordenada en el origen), podemos escribir:

Dibujo de la ecuación en forma simétrica de la recta

Estos puntos de corte se obtienen de la ecuación general así:

Fórmula de la ecuación en forma simétrica de la recta

Posiciones relativas entre dos rectas

Las posiciones relativas entre dos rectas en el plano son tres:

  1. Rectas secantes
  2. Rectas perpendiculares
  3. Rectas paralelas
  4. Rectas coincidentes

1. Rectas que se cortan (rectas secantes). Para que se corten se debe de cumplir:

Restricción para que dos rectas sean secantes

O, lo que es lo mismo:

Restricción según las pendientes para que dos rectas sean secantes

Deben tener pendientes distintas.

2. Un caso particular de dos rectas secantes son las rectas perpendiculares. Sus pendientes son inversas y de signo contrario. La condición se expresa alternativamente así:

Restricción para que dos rectas sean perpendiculares

Dependiendo de si las ecuaciones están en forma general, explícita o simétrica.

3. Rectas paralelas. Tienen la misma pendiente. La condición se expresa así:

Restricción 1 para que dos rectas sean paralelas

O, igualmente:

Restricción 2 para que dos rectas sean paralelas

4. Rectas coincidentes. Comparten pendiente y, además, la ordenada en el origen. La condición se expresa así:

Restricción 1 para que dos rectas sean coincidentes

O, igualmente:

Restricción 2 para que dos rectas sean coincidentes

Estas posiciones se pueden observar en la siguiente imagen:

Dibujo de la posición relativa de dos rectas

Distancias en las rectas

A continuación vamos a ver como se calculan las distancias entre diferentes elementos de las rectas.

Distancia entre dos puntos de una recta

Sabiendo las coordenadas de dos puntos de la recta P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2), la distancia se obtiene por el teorema de Pitágoras:

Dibujo de la distancia de dos puntos de una recta

Distancia entre un punto y una recta

Sabiendo las coordenadas del punto P (xp,yp) y la ecuación general de la recta, la distancia se obtiene por la fórmula:

Dibujo de la distancia entre un punto y una recta

Hay que poner la ecuación de la recta en su forma general y sustituir en la ecuación los valores de las coordenadas del punto. El resultado se expresa en valor absoluto.

Distancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas se puede hallar de dos maneras:

1. Averiguando las coordenadas de un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo, haciendo en su ecuación x = 0, hallar la abscisa del punto de corte en Y. Entonces, aplicar la fórmula de la distancia entre ese punto y la otra recta, según la fórmula anterior:

Dibujo de la distancia de dos rectas paralelas

2. Al ser paralelas las dos rectas, los coeficientes de sus ecuaciones generales deben cumplir esta condición:

Restricción 2 para que dos rectas sean paralelas

Por lo que se pueden transformar las ecuaciones para que los coeficientes A y B sean iguales, multiplicando o dividiendo una de ellas por una constante. Con esa transformación aparecerá una nueva pareja de coeficientes libres C y C’:

Dibujo 2 de la distancia de dos rectas paralelas

Este fórmula solamente se puede aplicar, como se ha dicho, cuando previamente se hayan igualado en las dos ecuaciones generales de las dos rectas paralelas los coeficientes A y B.

Ángulo de dos rectas que se cortan

El ángulo de dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular por dos procedimientos: a partir de sus vectores directores o a partir de sus pendientes.

El ángulo se puede obtener a través del producto escalar de sus vectores directores:

Fórmula del ángulo de dos rectas mediante el producto escalar

El otro procedimiento, más sencillo, es a partir de sus pendientes, que son los coeficientes m1 y m2 de la x de las ecuaciones de las rectas secantes puestas en forma explícita u ordinaria:

Fórmula del ángulo de dos rectas

Se toma el ángulo menor.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a otra recta r, 2x + 3y – 6 = 0 que la intersecta en el punto de corte de la recta r con el eje de las abscisas. Poner la ecuación de s en su forma general:

Solución:

Cálculo de la solución en el ejercicio 1 de ecuaciones de la recta

El punto de corte es (3, 0).

La pendiente de r es -2/3. Por lo que la pendiente de la recta perpendicular será su inversa negativa, es decir ms = 3/2. Podemos plantear la ecuación punto-pendiente de la perpendicular s en el punto de corte (3, 0).

Cálculo de la ecuación en el ejercicio 1 de ecuaciones de la recta

La imagen de estas rectas será:

Dibujo del ejercicio 1 de ecuaciones de una recta

Ejercicio 2

Estudiar la posición relativa de estos tres pares de rectas:

Enunciado del ejercicio 1 de posiciones relativas de dos rectas

Solución:

Cálculo de la solución del ejercicio 1 de posiciones relativas de dos rectas

Ejercicio 3:

Averiguar el ángulo que forman estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o sus pendientes) son diferentes:

Enunciado del ejercicio 1 de ángulo de dos rectas

Solución:

Se aplica la fórmula del ángulo de dos rectas secantes en función de las pendientes:

Cálculo de la solución del ejercicio 1 de ángulo de dos rectas

Véase la imagen:

Dibujo del ejercicio 1 de ángulo de dos rectas

Ejercicio 4:

a. Encontrar el punto de corte de estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o pendientes) son diferentes:

Enunciado del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

b. Resolver el problema pero expresando las ecuaciones de las rectas en su forma general o implícita:

Solución:

a. Las coordenadas del punto de corte se averiguaran resolviendo este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Se resolverá por el método de igualación, puesto que en ambas está despejada la y:

Cálculo del punto de corte del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

b. Las ecuaciones de las dos rectas expresadas en la forma general son:

Cálculo de las ecuaciones del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

El punto de corte hallado es el (3,4).

Planteadas de forma general, se resolverán por el método de reducción.

Se multiplicaran todos los términos de la segunda ecuación por -2 para, al sumarlas término a término, quede eliminada la x:

Cálculo de las ecuaciones en forma general del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

Obteniendo el mismo resultado: (3,4).

Dibujo del ejercicio 1 de posición relativa de dos rectas

Ejercicio 5:

a. Comprobar que las rectas r, y s son paralelas. (r está expresada en ecuación explícita u ordinaria, mientras que s lo está en la forma general):

b. Hallar la distancia entre ambas rectas, en el caso de que sean paralelas.

Enunciado del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Solución:

a. Para comprobar el posible paralelismo hay que comparar la igualdad de las pendientes y que las ordenadas en el origen sean distintas. Para hacerlo, se pasa la segunda ecuación a la forma explícita:

Cálculo de la ecuación explícita del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Son paralelas, porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en origen.

Cálculo de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

También se puede comprobar el paralelismo con las fórmulas que se derivan de la comparación a partir de las dos ecuaciones puestas en la forma general:

Cálculo 2 de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Y se hace la comprobación, viendo que existe el paralelismo:

Cálculo 3 de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

b. La distancia entre las paralelas la obtenemos de la fórmula que emplea los coeficientes de las ecuaciones puestas en forma general y reducidos los coeficientes de las variables. En este caso no es necesario operar porque los coeficientes A = 1 y B = 4 ya son iguales en las dos:

Cálculo de la solución del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

La distancia es 3,88.

Se ve en la imagen:

Dibujo del ejercicio 1 de distancia de dos rectas

Ejercicio 6:

Esta recta está expresada con su ecuación general:

Enunciado del ejercicio 2 de ecuaciones de la recta

a. Hacer las transformaciones para llegar a la ecuación explícita.

b. Obtener la ecuación en forma simétrica.

c. Averiguar la pendiente de la recta.

Solución:

a. Despejando la variable y se obtiene la forma explícita:

Cálculo de la ecuación explícita del ejercicio 2 de ecuaciones de la recta

b. Para obtener los parámetros a y b de la ecuación puesta en forma simétrica, hallaremos los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas, igualando sucesivamente a cero la y y la x, por ejemplo a partir de la ecuación en forma general:

Cálculo 1 de la ecuación en forma simétrica del ejercicio 2 de ecuaciones de la recta

Los puntos de corte con los ejes son (0, 2) y (-3, 0). Así podemos escribir la ecuación en forma simétrica:

Cálculo 2 de la ecuación en forma simétrica del ejercicio 2 de ecuaciones de la recta

c. Se pide la pendiente, que la podemos obtener a partir de dos puntos de la recta. Tenemos las intersecciones con los ejes X e Y que antes hemos averiguado:

Cálculo de la pendiente de la recta del ejercicio 2 de ecuaciones de la recta

La pendiente es m = 2/3, que, como sabemos, coincide con el coeficiente de la x en la ecuación puesta en forma explícita. El valor de m es positivo, por lo que la pendiente es ascendente o creciente.

El resultado del ejercicio se ve en la imagen:

Dibujo del ejercicio 2 de ecuaciones de la recta

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