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Derivada exponencial

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La derivada exponencial, en particular la derivada de la función exponencial en su expresión simple ex, es:

Fórmula de la derivada exponencial simple

Si cambia la base en la forma simple y ahora la función es ax, su derivada será:

Fórmula de la derivada exponencial con diferente base

Estas son las gráficas, en el segundo caso ax, de la función exponencial y de su función derivada:

Gráfica de la derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ex es esa misma función. La derivada de la función exponencial simple de la forma ax es la misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base a.

Vista la derivada de la función exponencial simple, en sus dos formas, de la derivada de una función exponencial compuesta, siendo el exponente una función derivable, se obtendrán sus derivadas aplicando la regla de la cadena:

Fórmula de la derivada de la función exponencial compuesta

La derivada de la función exponencial ef(x) es esa misma función multiplicada por la derivada de la función del exponente. La derivada de la función exponencial af(x) es esa misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base y multiplicada por la derivada de la función del exponente.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Hallar la derivada de la función exponencial:

Enunciado del ejercicio 1

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta función compuesta:

Enunciado del ejercicio 2

Demostración de la derivada exponencial

Una forma de demostrar la fórmula de la derivada de la función exponencial es recurrir primero a la noción de función inversa. Como el ln x es la función inversa de ex, su composición es la función identidad:

Función inversa en la demostración de la derivada de la función exponencial

Derivamos ambos términos de la igualdad (la derivada de la función logarítmica ya ha sido demostrada):

Derivando en la demostración

Despejando (ex)’ queda demostrada la derivada.

Despejando en la demostración

Derivada potencial exponencial

Para la derivada de la función potencial-exponencial:

Fórmula de la función potencial exponencial

Corresponde aplicar la siguiente fórmula (siempre en el dominio en donde ambas funciones, la de la base y la del exponente, estén definidas y que la base no sea negativa, porque no tendría sentido):

Fórmula de la derivada potencial exponencial

Para esta fórmula, basta con recordar la derivada de la función potencial y la derivada de la función exponencial.

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