Derivada exponencial

La derivada exponencial, en particular la derivada de la función exponencial en su expresión simple e^x, es:

Si cambia la base en la forma simple y ahora la función es a^x, su derivada será:

Estas son las gráficas, en el segundo caso a^x, de la función exponencial y de su función derivada:

La derivada de la función exponencial e^x es esa misma función. La derivada de la función exponencial simple de la forma a^x es la misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base a.

Vista la derivada de la función exponencial simple, en sus dos formas, de la derivada de una función exponencial compuesta, siendo el exponente una función derivable, se obtendrán sus derivadas aplicando la regla de la cadena:

La derivada de la función exponencial e^f(x) es esa misma función multiplicada por la derivada de la función del exponente. La derivada de la función exponencial a^f(x) es esa misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base y multiplicada por la derivada de la función del exponente.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de la función exponencial:

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta función compuesta:

Demostración de la derivada exponencial

Una forma de demostrar la fórmula de la derivada de la función exponencial es recurrir primero a la noción de función inversa. Como el ln x es la función inversa de e^x, su composición es la función identidad:

Derivamos ambos términos de la igualdad (la derivada de la función logarítmica ya ha sido demostrada):

Despejando (e^x)’ queda demostrada la derivada.

Derivada potencial exponencial

Para la derivada de la función potencial-exponencial:

Corresponde aplicar la siguiente fórmula (siempre en el dominio en donde ambas funciones, la de la base y la del exponente, estén definidas y que la base no sea negativa, porque no tendría sentido):

Para esta fórmula, basta con recordar la derivada de la función potencial y la derivada de la función exponencial.