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Cargando...¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos de los triángulos. Se ocupa, por tanto, de las funciones asociadas a los ángulos, denominadas funciones trigonométricas (también pueden denominarse funciones circulares): seno, coseno, tangente, secante,…
Etimológicamente, trigonometría significa medida de los triángulos, ya que proviene de las palabras griegas trigono (triángulo) y metría (medida).
La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia: de una u otra manera en todos los campos de las matemáticas; en la física, por ejemplo en fenómenos ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo para medir distancias entre planetas; en la geodesia, etc.
Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.
- El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
- El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
- La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
Razones trigonométricas de ángulos característicos
El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:
Razones trigonométricas recíprocas
Las razones trigonométricas recíprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:
- Cosecante (csc): es la razón recíproca del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
- Secante (sec): la razón recíproca del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
- Cotangente (cot): es la razón recíproca de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1
Definición de las razones trigonométricas recíprocas
Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.
- Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):
- Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b):
- Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a):
Razones trigonométricas recíprocas de ángulos característicos
Las razones trigonométricas recíprocas de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:
Relación entre razones trigonométricas
Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.
Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.
Funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).
Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.
Las funciones trigonométricas inversas son:
Arcoseno
El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Su abreviatura es arcsen o sen-1.
Arcocoseno
El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Su abreviatura es arccos o cos-1.
Arcotangente
La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Su abreviatura es arctan o tan-1.
Identidades trigonométricas
Relaciones trigonométricas básicas
- Identidad fundamental de la trigonometría
- Relación entre el seno, coseno y tangente
- Relación trigonométrica entre la tangente y la secante
- Relación trigonométrica entre la cosecante y la cotangente
Teoremas trigonométricos
A continuación vamos a enumerar los teoremas trigonométricos más importantes.
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:
Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).
La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:
El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.
De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.
Teorema de la tangente
El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:
La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.
Propiedades de las razones trigonométricas
Las razones trigonométricas del ángulo suma (α+β), resta (α-β), doble (2α), mitad (α/2) y triple (3α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.
Razones trigonométricas del ángulo suma
- Seno del ángulo suma:
- Coseno del ángulo suma:
- Tangente del ángulo suma:
Razones trigonométricas del ángulo resta
- Seno del ángulo resta:
- Coseno del ángulo resta:
- Tangente del ángulo resta:
Razones trigonométricas del ángulo doble
- Seno del ángulo doble:
- Coseno del ángulo doble:
- Tangente del ángulo doble:
Razones trigonométricas del ángulo mitad
- Seno del ángulo mitad:
- Coseno del ángulo mitad:
- Tangente del ángulo mitad:
Razones trigonométricas del ángulo triple
- Seno del ángulo triple:
- Coseno del ángulo triple:
- Tangente del ángulo triple:
Excelente. muy util.
Excelente herramienta para utilizar en la resolución de ejercicios, todo en un solo documento. Gracias mil por su colaboración.
Muy didáctico y completo. Excelente artículo para aprender Trigonometría plana.
Gracias. De mucha ayuda.
Me Gusta la la Trigonometria y abrender sobre ella mas y tener mas informacion de lasmatematicas
También necesarias unas clases de Español amigo…
Excelente artículo, está bastante completo y claro, felicitaciones.
ami me ayudo mucho para estudiar
Gracias por toda vuestra ayuda. En pleno Covid 19 desde Buenos Aires, voy encontrando excelentes resultados para preparar a mi hijo en Trigonometrìa. Aquì estamos con clases virtuales como en tantos lugares del mundo. Salud para todos.
Me ayudo gracias 😀
Aunque me falte 3 años para que tome este tema :,v
Igual me ayudo 😀
Me ayudó mucho en matématica
MUY BUENA INFORMACIÓN
tengo esta situación, si me pueden ayudar.
un autobus que viaja a 70km por hora, toma un desvío por un camino recto formando un ángulo de 30 grados con la avenida principal. hallar la dfistancia entre la avenida y el autobus despues de una hora de viaje.
Mira la página MRU en UNIVERSO FÓRMULAS
x = vt
x es el recorrido por el camino de 30°
x = 70*1 = 70 km
Distancia a avenida después de 1 hora es d
d = 70 * sen 30° = 70 * 0,5 = 35 km
La distancia es 70 Kms. si el tiempo de viaje se cuenta desde el momento en que el autobus toma el desvío.
En realidad son 35 km de distancia entre el autobús y la avenida principal (es la distancia mínima. La perpendicular a la avenida principal)
Excelente información, en verdad que muy util
excelente información
Excelente el tema
👍
Muy buena referencia, gracias.
gracias. realmente tenías lo que necesitaba
wow… buenisimo
Mil gracias . Trabajo sencillo y claro, como todo lo valioso. Muy útil para los maestros que buscamos utilizar el tiempo en lo que es prioritario.
¡Muy buen artículo! . Tenía que hacer un trabajo escrito de matemática sobre trigonometría y no tenía ni la menor idea de dónde conseguir todo esto me topé con la página y estoy maravillada, es una gozada. ¡Gracias!.
EXCELENTE AYUDA GRACIAS
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gostei do conteúdo. estou reestudando matemática.
muy buena pagina!!!
me han dejado problemas de las cevianas externas e internas y no se como resolver
Consulta «elementos notables de un triángulo» en Universo Fórmulas».
Espero que te sea útil.
a mi tambien :p
me ayudo mucho en mis tareas de matemática gracias