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Regla de l’Hôpital

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La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la derivación>.

Aplicación de la regla de L’Hôpital

Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:

Verificación en la regla de l'Hôpital

Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador.

Es una indeterminación del tipo 0/0.

Entonces se verifica que:

Fórmula de la regla de l'Hôpital

Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera existir el límite de f/g).

El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.

La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede hacer la transformación:

Transformación 1 en la regla de l'Hôpital

En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1, 00; o 0, mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría aplicar la regla de L’Hôpital.

Ejercicios

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Veamos un par de casos:

Ejercicio 1

Sea la siguiente indeterminación 0/0:

Funciones del ejemplo 1 en la regla de l'Hôpital

Es un límite indeterminado al que le aplicamos la regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador:

Aplicación de l'Hôpital del ejemplo 1 en la regla de l'Hôpital

Valor del límite que se ve en la figura:

Gráfica del ejemplo 1 en la regla de l'Hôpital

Ejercicio 2

Otro caso, pero este con reiteración:

Funciones del ejemplo 2 en la regla de l'Hôpital

Tenemos una indeterminación. Aplicamos la regla de L’Hôpital, como sabemos, derivando numerador y denominador (que son derivables):

Aplicación 1 de l'Hôpital del ejemplo 1 en la regla de l'Hôpital

Vuelve a aparecer un límite indeterminado. Volvemos aplicar por segunda vez la regla de L’Hôpital. Ahora sí que obtenemos el límite:

Aplicación 1 de l'Hôpital del ejemplo 2 en la regla de l'Hôpital

El valor del límite lo podemos ver en la siguiente gráfica:

Gráfica del ejemplo 2 en la regla de l'Hôpital

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