Derivada de la función inversa

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La derivada de la función inversa f-1 se puede obtener a partir de la derivada de una función compuesta de f:

Fórmula de la derivada de la función inversa

Es un procedimiento para obtener la derivada de la función inversa f-1, sabiendo previamente la derivada de la función original f.

El símbolo de la función inversa es:

Símbolo de la derivada de la función inversa

No confundir el símbolo de la función inversa con un exponente negativo. En algunos textos, a la función inversa se le llama h(x) como equivalente a f-1.

La derivada de la función inversa f-1 de f es el inverso multiplicativo de la derivada f’[f-1(x)] de la composición en la propia función, es decir, son funciones recíprocas.

Veamos de donde viene esta fórmula. Sabemos que una función lleva de un valor x de un conjunto de partida o dominio a un solo elemento o imagen f(x) del conjunto de llegada de la función. Pues bien, la función inversa f-1 asigna al valor de partida f(x) el valor de llegada x. Es decir, que ambas funciones hacen el camino contrario.

En la imagen de abajo vemos que se derivan los dos términos de la igualdad, aplicando la regla de la cadena al primer término y derivando también el segundo. El resultado de la derivada x’ es la unidad.

De esta igualdad, se despeja la derivada de la función inversa, obteniendo la expresión a).

Expresión a de la derivada de la función inversa

La condición necesaria para que una función tenga inversa es que ha de ser inyectiva. En su gráfica, ninguna recta horizontal debe cortarla en más de un punto. O, dicho de otra manera, debe de ser creciente o decreciente en todo su dominio.

Veámoslo con un caso. Tenemos una función f(x) derivable, estrictamente creciente y definida en los reales. A f(x) le llamamos y. Su derivada, aquí se calcula por la regla de la potencia:

Ejemplo de la derivada de la función inversa

Ahora, vamos a la función inversa f-1(x) correspondiente y su derivada. Despejamos la x. (Aquí, la y actúa como variable independiente). Intercambiamos la x por la y. A la y le llamaremos f-1(x)), es decir, su función inversa:

Variables de la derivada de la función inversa

Y hemos obtenido la función inversa buscada.

Ésta se ha obtenido aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa:

Fórmula de la derivada de la función inversa

Y se obtiene:

Resultado de la derivada de la función inversa

Ya que se hubiera obtenido el mismo resultando derivando directamente la función inversa hallada mediante la regla de la derivada de la raíz:

Fórmula de la derivada de una raíz

Veamos esto en un punto particular. Por ejemplo, para x = 2, la función f(x) se evaluará en 32.

Pero la función inversa nos retornará del valor de la variable independiente 32 al valor de f-1(x) = 2:

Punto particular de la derivada de la función inversa

Para saber el valor de la derivada de la función inversa en su punto x = 32, recurrimos a la fórmula conocida. Hemos visto que f-1(32) = 2, porque es la función inversa de f(2):

Fórmula conocida de la derivada de la función inversa

La derivada de la función inversa en el punto f-1(32) es 1 / 80.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función f(x) derivable y, así planteada, definida en los reales. Como la función con exponente par no es inyectiva, que es condición necesaria para que tenga función inversa, restringiremos el dominio de f(x) a los reales positivos (así, una recta paralela al eje X no cortará a la función ahora restringida en más de un punto). Dom f(x) = [0, +).

Y hallamos su derivada, según la regla de la derivada de una potencia:

Cálculo de la derivada en el ejercicio 1

Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x. Aquí la y sería la variable independiente. Por eso, invertimos las variables, llamando a la y la función resultante, f-1(x), que será la función inversa:

Cálculo de la función inversa en el ejercicio 1

Ahora aplicamos la fórmula conocida para hallar directamente la derivada de la función inversa.

Fórmula de la derivada de la función inversa

Aplicando a la función inversa su expresión de este caso, que es:

Cálculo de la expresión en el ejercicio 1

Sustituimos en la fórmula de la función inversa, en el denominador, la variable independiente de la derivada de la función por la función inversa y tendremos la derivada de la función inversa de f(x):

Cálculo del denominador en el ejercicio 1

Se hubiera obtenido el mismo resultando derivando directamente la función inversa hallada:

Cálculo de la expresión en el ejercicio 1

Mediante la derivada de la raíz y la regla de la cadena:

Cálculo del resultado en el ejercicio 1

Ejercicio 2

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función derivable y definida en los reales excepto 3/2. Dom f(x) = ℜ – {3/2}:

Enunciado en el ejercicio 2

En primer lugar, derivamos esta función, según la regla de la derivada de un cociente:

Cálculo del cociente en el ejercicio 2

Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x:

Cálculo despejando x en el ejercicio 2

Pero invertimos las variables llamando y a la x y viceversa. Ahora la y pasa a ser la variable dependiente que será la función inversa f-1.

Cálculo despejando y en el ejercicio 2

Se halla la función inversa f-1 a partir de la fórmula. La derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función original (en azul), pero en la que la variable independiente es la misma función inversa hallada anteriormente (marcada en rojo):

Cálculo de la función original en el ejercicio 2

Operando, se llega a la expresión final.

Al mismo resultado se llegaría derivando directamente la función inversa hallada siguiendo la regla de la derivada de un cociente:

Cálculo del resultado en el ejercicio 2

Ejercicio 3

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función f(x) derivable y definida en los reales. Como la función con exponente par no es inyectiva, que es condición necesaria para que tenga función inversa, restringiremos su dominio a los reales positivos (así, una recta paralela al eje X no cortará la función en más de un punto).

Y hallamos su derivada, según la regla de la derivada de una potencia:

Ejemplo de la derivada de la función inversa

Ahora, vamos a la función inversa f-1(x) correspondiente y su derivada. Despejamos la x. Intercambiamos la x y la y. (Con este intercambio, la y actúa como variable independiente y le llamamos f-1(x)), es decir, su función inversa:

Variables de la derivada de la función inversa

Y hemos obtenido la función inversa buscada.

Aplicamos la fórmula de la derivada de la función inversa:

Fórmula de la derivada de la función inversa

Y se obtiene:

Resultado de la derivada de la función inversa

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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