Derivada de la función inversa

La derivada de la función inversa f^-1 se puede obtener a partir de la derivada de una función compuesta de f:

Es un procedimiento para obtener la derivada de la función inversa f^-1, sabiendo previamente la derivada de la función original f.

El símbolo de la función inversa es:

No confundir el símbolo de la función inversa con un exponente negativo. En algunos textos, a la función inversa se le llama h(x) como equivalente a f^-1.

La derivada de la función inversa f^-1 de f es el inverso multiplicativo de la derivada f’[f^-1(x)] de la composición en la propia función, es decir, son funciones recíprocas.

Veamos de donde viene esta fórmula. Sabemos que una función lleva de un valor x de un conjunto de partida o dominio a un solo elemento o imagen f(x) del conjunto de llegada de la función. Pues bien, la función inversa f^-1 asigna al valor de partida f(x) el valor de llegada x. Es decir, que ambas funciones hacen el camino contrario.

En la imagen de abajo vemos que se derivan los dos términos de la igualdad, aplicando la regla de la cadena al primer término y derivando también el segundo. El resultado de la derivada x’ es la unidad.

De esta igualdad, se despeja la derivada de la función inversa, obteniendo la expresión a).

La condición necesaria para que una función tenga inversa es que ha de ser inyectiva. En su gráfica, ninguna recta horizontal debe cortarla en más de un punto. O, dicho de otra manera, debe de ser creciente o decreciente en todo su dominio.

Veámoslo con un caso. Tenemos una función f(x) derivable, estrictamente creciente y definida en los reales. A f(x) le llamamos y. Su derivada, aquí se calcula por la regla de la potencia:

Ahora, vamos a la función inversa f^-1(x) correspondiente y su derivada. Despejamos la x. (Aquí, la y actúa como variable independiente). Intercambiamos la x por la y. A la y le llamaremos f^-1(x)), es decir, su función inversa:

Y hemos obtenido la función inversa buscada.

Ésta se ha obtenido aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa:

Y se obtiene:

Ya que se hubiera obtenido el mismo resultando derivando directamente la función inversa hallada mediante la regla de la derivada de la raíz:

Veamos esto en un punto particular. Por ejemplo, para x = 2, la función f(x) se evaluará en 32.

Pero la función inversa nos retornará del valor de la variable independiente 32 al valor de f^-1(x) = 2:

Para saber el valor de la derivada de la función inversa en su punto x = 32, recurrimos a la fórmula conocida. Hemos visto que f^-1(32) = 2, porque es la función inversa de f(2):

La derivada de la función inversa en el punto f^-1(32) es 1 / 80.

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función f(x) derivable y, así planteada, definida en los reales. Como la función con exponente par no es inyectiva, que es condición necesaria para que tenga función inversa, restringiremos el dominio de f(x) a los reales positivos (así, una recta paralela al eje X no cortará a la función ahora restringida en más de un punto). Dom f(x) = [0, +∞).

Y hallamos su derivada, según la regla de la derivada de una potencia:

Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x. Aquí la y sería la variable independiente. Por eso, invertimos las variables, llamando a la y la función resultante, f^-1(x), que será la función inversa:

Ahora aplicamos la fórmula conocida para hallar directamente la derivada de la función inversa.

Aplicando a la función inversa su expresión de este caso, que es:

Sustituimos en la fórmula de la función inversa, en el denominador, la variable independiente de la derivada de la función por la función inversa y tendremos la derivada de la función inversa de f(x):

Se hubiera obtenido el mismo resultando derivando directamente la función inversa hallada:

Mediante la derivada de la raíz y la regla de la cadena:

Ejercicio 2

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función derivable y definida en los reales excepto 3/2. Dom f(x) = ℜ – {3/2}:

En primer lugar, derivamos esta función, según la regla de la derivada de un cociente:

Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x:

Pero invertimos las variables llamando y a la x y viceversa. Ahora la y pasa a ser la variable dependiente que será la función inversa f^-1.

Se halla la función inversa f^-1 a partir de la fórmula. La derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función original (en azul), pero en la que la variable independiente es la misma función inversa hallada anteriormente (marcada en rojo):

Operando, se llega a la expresión final.

Al mismo resultado se llegaría derivando directamente la función inversa hallada siguiendo la regla de la derivada de un cociente:

Ejercicio 3

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función f(x) derivable y definida en los reales. Como la función con exponente par no es inyectiva, que es condición necesaria para que tenga función inversa, restringiremos su dominio a los reales positivos (así, una recta paralela al eje X no cortará la función en más de un punto).

Y hallamos su derivada, según la regla de la derivada de una potencia:

Ahora, vamos a la función inversa f^-1(x) correspondiente y su derivada. Despejamos la x. Intercambiamos la x y la y. (Con este intercambio, la y actúa como variable independiente y le llamamos f^-1(x)), es decir, su función inversa:

Y hemos obtenido la función inversa buscada.

Aplicamos la fórmula de la derivada de la función inversa:

Y se obtiene: