Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b), si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy es que en los pares de puntos de las curvas f(x) y g(x) correspondientes a la abscisa c, es decir en (c, f(c)) y (c, g(c)), sus rectas tangentes tienen unas pendientes cuyo cociente k es el mismo cociente que el cociente de las pendientes de las rectas que unen, una recta, los puntos f(a) y f(b) y la otra, g(a) y g(b) de ese par de funciones.

La relación de las pendientes de las rectas tangentes en c es:

Un caso particular es cuando el cociente es k = 1, que es cuando coincide que:

Entonces hay un punto c en el que igualan las derivadas de las dos funciones f’(c) = g’(c) y las dos rectas tangentes a las dos funciones correspondientes a la ordenada c y la recta que une los puntos A y B, las tres rectas tienen idéntica pendiente, son paralelas.

Paralelas con pendiente tan α. Como se ve en la figura:

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio, ya que el teorema del Valor Medio o de Lagrange es un caso particular del teorema de Cauchy. Cuando g(x) = x, el teorema de Cauchy se reduce al de Lagrange.

En efecto:

Como la derivada de la segunda función es la unidad:

Se comprueba que la expresión de Cauchy, en este caso queda reducida a la de Lagrange.

El teorema de Cauchy se emplea para demostrar, entre otros, el teorema de l’Hôpital, básico para resolver ciertos límites indeterminados.

Ejercicio

Comprobar que se cumple el teorema de Cauchy para las siguientes funciones, en el intervalo [1, 3]:

Las funciones son continuas y derivables en todo su dominio, al tratarse de funciones elementales, por lo tanto y como exige el teorema, continuas en [1, 3] y derivables en (1, 3).

Se verifica que g(1) ≠ g(3):

Se aplica la ecuación del teorema de Cauchy correspondiente al intervalo:

Las derivadas de las dos funciones en el punto c buscado son:

Como se sabe el valor numérico de la fracción de las derivadas, pues hemos hallado que es 0,6, planteamos la igualdad, desarrollamos y llegamos a una ecuación cuadrática:

Se hallan sus raíces, que son 2,135 y –0,47.

El punto buscado es c = 2,135, ya que es el que pertenece a (1, 3).

Como se ve en la figura:

En el gráfico están representados los ángulos α y β de las rectas tangentes a las dos funciones en la abscisa c = 2,135. El cociente de sus tangentes hemos visto que es 0,6.