× NO BLOQUEES a Universo Formulas

¡Hola! Al parecer tienes en el navegador un bloqueador de anuncios (Adblocker, Ablock Plus,...) que impide que se visualicen nuestros anuncios.

Queremos recordarte que este proyecto vive únicamente de la publicidad y que sin estos ingresos no podremos seguir ayudándote.

No te pedimos que desinstales tu bloqueador de anuncios, sólo que no actúe en las páginas de nuestro dominio universoformulas.com y así podremos mostrarte nuestros bloques de anuncios.

Icono de AdBlock Icono de AdBlock Plus Icono de UBlock Icono de AdBlock Pro Icono de Fair AdBlock Icono de Adguard AdBlock

¡Gracias por todo y que sigas disfrutando de Universo Formulas!

Este aviso se cerrará automáticamente en 30 segundos.

Teorema de Cauchy

ANUNCIOS
1 estrella2 estrellas3 estrellas4 estrellas5 estrellas (Ninguna valoración todavía)
Cargando…

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b), si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

Fórmula del teorema de Cauchy

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

Constante del teorema de Cauchy

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy es que en los pares de puntos de las curvas f(x) y g(x) correspondientes a la abscisa c, es decir en (c, f(c)) y (c, g(c)), sus rectas tangentes tienen unas pendientes cuyo cociente k es el cociente de las pendientes de las rectas tangentes en ese par de puntos de las dos funciones.

Interpretación geométrica del teorema de Cauchy

La relación de las pendientes de las rectas tangentes en c es:

Relación de las pendientes

Un caso particular es cuando el cociente es k = 1, que es cuando coincide que:

Caso particular

Entonces hay un punto c en el que igualan las derivadas de las dos funciones f’(c) = g’(c) y las dos rectas tangentes a las dos funciones correspondientes a la ordenada c y la recta que une los puntos A y B, las tres rectas tienen idéntica pendiente, son paralelas.

Punto en la demostración

Paralelas con pendiente tan α. Como se ve en la figura:

Gráfica del teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio, ya que el teorema del Valor Medio o de Lagrange es un caso particular del teorema de Cauchy. Cuando g(x) = x, el teorema de Cauchy se reduce al de Lagrange.

En efecto:

Generalización en la demostración

Como la derivada de la segunda función es la unidad:

Unidad en la demostración

Se comprueba que la expresión de Cauchy, en este caso queda reducida a la de Lagrange.

Reducción en la demostración

El teorema de Cauchy se emplea para demostrar, entre otros, el teorema de l’Hôpital, básico para resolver ciertos límites indeterminados.

Ejercicio

Comprobar que se cumple el teorema de Cauchy para las siguientes funciones, en el intervalo [1, 3]:

Enunciado del ejercicio 1

Las funciones son continuas y derivables en todo su dominio, al tratarse de funciones elementales, por lo tanto y como exige el teorema, continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4).

Se verifica que g(1) ≠ g(4):

Aplicación del teorema del ejercicio 1

Se aplica la ecuación del teorema de Cauchy correspondiente al intervalo:

Aplicación en el intervalo del ejercicio 1

Las derivadas de las dos funciones en el punto c buscado son:

Derivadas del ejercicio 1

Como se sabe el valor numérico de la fracción de las derivadas, pues hemos hallado que es 0,75, planteamos la igualdad, desarrollamos y llegamos a una ecuación cuadrática:

Valor numérico del ejercicio 1

Se hallan sus raíces, que son 1,87 y – 0,53.

El punto buscado es c = 1,87, ya que es el que pertenece a (1, 3).

Como se ve en la figura:

Gráfica del ejercicio 1

En el gráfico están representados los ángulos α y β de las rectas tangentes a las dos funciones en la abscisa c = 1,87. El cociente de sus tangentes hemos visto que es 0,75.

Cociente del ejercicio 1

SI TE HA GUSTADO, ¡COMPÁRTELO!

También te podría gustar...

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *