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Cargando...Las reglas de derivación, (a veces denominadas teoremas de derivación) permiten la obtención de la derivada en el caso de funciones compuestas.
Hay que tener bien presentes las derivadas inmediatas. Aquí tenemos una tabla de derivadas:
Regla de la suma
La derivada de la suma de funciones consiste en que la derivada de la función suma es la suma de las derivadas de cada función sumando:
Ejercicio
Hallar la derivada de esta suma de dos funciones:
La derivada de la suma será la suma de las derivadas:
Regla de la resta
La derivada de la resta de funciones consiste en que la derivada de la función resta es la resta de las derivadas de cada término:
Ejercicio
Hallar la derivada de esta resta de dos funciones:
La derivada de la resta será la resta de las derivadas:
Regla del producto
La derivada de un producto de dos funciones es:
La fórmula de la derivada del producto de tres funciones (f, g y h) es:
Y por la propiedad asociativa del producto, es la siguiente:
Ejercicio
Hallar la derivada de este producto:
Se derivan los dos factores:
Aplicando la fórmula de la derivada del producto:
Regla del cociente
La derivada de una función cociente de dos funciones se obtiene mediante la fórmula:
Ejercicio
Hallar la derivada de la siguiente función, que es el cociente a su vez, de otras dos funciones, que son continuas y derivables, por ser funciones elementales:
La derivada del denominador es:
Se aplica la fórmula de la derivada de una función cociente de dos funciones:
Desarrollando y simplificando:
Regla de la cadena
La regla de la cadena trata de la derivada de la composición de funciones. Del tipo:
La regla de la cadena consiste en que la derivada de la función compuesta es:
La regla de la cadena es válida también para la derivada de la composición de tres o más funciones:
Ejercicio
Aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de esta función compuesta:
Es la composición de las funciones:
Y:
La función g actúa sobre la función f. Las dos funciones son continuas y derivables, por funciones elementales (función radical y función polinómica). Para hallar su derivada aplicamos la regla de la cadena.
Primero, derivamos f(x):
Después, la función g, sustituyendo el valor a:
Se aplica la regla de la cadena y se halla la derivada de esta composición de funciones:
Regla de la derivada de la función inversa
La derivada de la función inversa f-1 se puede obtener a partir de la derivada de una función compuesta de f:
Es un procedimiento para obtener la derivada de la función inversa f-1, sabiendo previamente la derivada de la función original f.
El símbolo de la función inversa es:
No confundir el símbolo de la función inversa con un exponente negativo. En algunos textos, a la función inversa se le llama h(x) como equivalente a f-1.
La derivada de la función inversa f-1 de f es el inverso multiplicativo de la derivada f’[f-1(x)] de la composición en la propia función, es decir, son funciones recíprocas.
Ejercicio 1
Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función f(x) derivable y, así planteada, definida en los reales. Como la función con exponente par no es inyectiva, que es condición necesaria para que tenga función inversa, restringiremos el dominio de f(x) a los reales positivos (así, una recta paralela al eje X no cortará a la función ahora restringida en más de un punto). Dom f(x) = [0, +∞).
Y hallamos su derivada, según la regla de la derivada de una potencia:
Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x. Aquí la y sería la variable independiente. Por eso, invertimos las variables, llamando a la y la función resultante, f-1(x), que será la función inversa:
Ahora aplicamos la fórmula conocida para hallar directamente la derivada de la función inversa.
Aplicando a la función inversa su expresión de este caso, que es:
Sustituimos en la fórmula de la función inversa, en el denominador, la variable independiente de la derivada de la función por la función inversa y tendremos la derivada de la función inversa de f(x):
Se hubiera obtenido el mismo resultando derivando directamente la función inversa hallada:
Mediante la derivada de la raíz y la regla de la cadena:
Ejercicio 2
Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función derivable y definida en los reales excepto 3/2. Dom f(x) = ℜ – {3/2}:
En primer lugar, derivamos esta función, según la regla de la derivada de un cociente:
Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x:
Pero invertimos las variables llamando y a la x y viceversa. Ahora la y pasa a ser la variable dependiente que será la función inversa f-1.
Se halla la función inversa f-1 a partir de la fórmula. La derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función original (en azul), pero en la que la variable independiente es la misma función inversa hallada anteriormente (marcada en rojo):
Operando, se llega a la expresión final.
Al mismo resultado se llegaría derivando directamente la función inversa hallada siguiendo la regla de la derivada de un cociente:
