Reglas de derivación

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Las reglas de derivación, (a veces denominadas teoremas de derivación) permiten la obtención de la derivada en el caso de funciones compuestas.

Hay que tener bien presentes las derivadas inmediatas. Aquí tenemos una tabla de derivadas:

Tabla de las reglas de derivación

Regla de la suma

La derivada de la suma de funciones consiste en que la derivada de la función suma es la suma de las derivadas de cada función sumando:

Fórmula de las derivadas del sumando de varias funciones

Ejercicio

Hallar la derivada de esta suma de dos funciones:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada de la suma será la suma de las derivadas:

Resultado del ejercicio 1

Regla de la resta

La derivada de la resta de funciones consiste en que la derivada de la función resta es la resta de las derivadas de cada término:

Fórmula de las derivadas de la resta

Ejercicio

Hallar la derivada de esta resta de dos funciones:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada de la resta será la resta de las derivadas:

Resultado del ejercicio 1

Regla del producto

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La derivada de un producto de dos funciones es:

Fórmula de la derivada de un producto de funciones

La fórmula de la derivada del producto de tres funciones (f, g y h) es:

Producto de tres funciones

Y por la propiedad asociativa del producto, es la siguiente:

Fórmula de la derivada de la multiplicación de tres funciones

Ejercicio

Hallar la derivada de este producto:

Enunciado del ejercicio 1

Se derivan los dos factores:

Derivada de los factores del ejercicio 1

Aplicando la fórmula de la derivada del producto:

Resultado del ejercicio 1

Regla del cociente

La derivada de una función cociente de dos funciones se obtiene mediante la fórmula:

Fórmula de la derivada de un cociente de funciones

Ejercicio

Hallar la derivada de la siguiente función, que es el cociente a su vez, de otras dos funciones, que son continuas y derivables, por ser funciones elementales:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada del numerador es:

Derivada del numerador del ejercicio 1

La derivada del denominador es:

Derivada del denominador del ejercicio 1

Se aplica la fórmula de la derivada de una función cociente de dos funciones:

Aplicando fórmula del ejercicio 1

Desarrollando y simplificando:

Resultado del ejercicio 1

Regla de la cadena

La regla de la cadena trata de la derivada de la composición de funciones. Del tipo:

Fórmula de la composición de funciones

La regla de la cadena consiste en que la derivada de la función compuesta es:

Fórmula de la regla de la cadena

La regla de la cadena es válida también para la derivada de la composición de tres o más funciones:

Fórmula de la regla de la cadena para tres funciones

Ejercicio

Aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de esta función compuesta:

Enunciado del ejercicio 1

Es la composición de las funciones:

Primera función del ejercicio 1

Y:

Segunda función del ejercicio 1

La función g actúa sobre la función f. Las dos funciones son continuas y derivables, por funciones elementales (función radical y función polinómica). Para hallar su derivada aplicamos la regla de la cadena.

Primero, derivamos f(x):

Derivada de f del ejercicio 1

Después, la función g, sustituyendo el valor a:

Derivada de g del ejercicio 1

Se aplica la regla de la cadena y se halla la derivada de esta composición de funciones:

Solución del ejercicio 1

Regla de la derivada de la función inversa

La derivada de la función inversa f-1 se puede obtener a partir de la derivada de una función compuesta de f:

Fórmula de la derivada de la función inversa

Es un procedimiento para obtener la derivada de la función inversa f-1, sabiendo previamente la derivada de la función original f.

El símbolo de la función inversa es:

Símbolo de la derivada de la función inversa

No confundir el símbolo de la función inversa con un exponente negativo. En algunos textos, a la función inversa se le llama h(x) como equivalente a f-1.

La derivada de la función inversa f-1 de f es el inverso multiplicativo de la derivada f’[f-1(x)] de la composición en la propia función, es decir, son funciones recíprocas.

Ejercicio 1

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función f(x) derivable y, así planteada, definida en los reales. Como la función con exponente par no es inyectiva, que es condición necesaria para que tenga función inversa, restringiremos el dominio de f(x) a los reales positivos (así, una recta paralela al eje X no cortará a la función ahora restringida en más de un punto). Dom f(x) = [0, +).

Y hallamos su derivada, según la regla de la derivada de una potencia:

Cálculo de la derivada en el ejercicio 1

Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x. Aquí la y sería la variable independiente. Por eso, invertimos las variables, llamando a la y la función resultante, f-1(x), que será la función inversa:

Cálculo de la función inversa en el ejercicio 1

Ahora aplicamos la fórmula conocida para hallar directamente la derivada de la función inversa.

Fórmula de la derivada de la función inversa

Aplicando a la función inversa su expresión de este caso, que es:

Cálculo de la expresión en el ejercicio 1

Sustituimos en la fórmula de la función inversa, en el denominador, la variable independiente de la derivada de la función por la función inversa y tendremos la derivada de la función inversa de f(x):

Cálculo del denominador en el ejercicio 1

Se hubiera obtenido el mismo resultando derivando directamente la función inversa hallada:

Cálculo de la expresión en el ejercicio 1

Mediante la derivada de la raíz y la regla de la cadena:

Cálculo del resultado en el ejercicio 1

Ejercicio 2

Hallar la derivada de la función inversa de la siguiente función derivable y definida en los reales excepto 3/2. Dom f(x) = ℜ – {3/2}:

Enunciado en el ejercicio 2

En primer lugar, derivamos esta función, según la regla de la derivada de un cociente:

Cálculo del cociente en el ejercicio 2

Ahora, seguimos el proceso para hallar la función inversa de f(x). Para ello, despejamos en ella la x:

Cálculo despejando x en el ejercicio 2

Pero invertimos las variables llamando y a la x y viceversa. Ahora la y pasa a ser la variable dependiente que será la función inversa f-1.

Cálculo despejando y en el ejercicio 2

Se halla la función inversa f-1 a partir de la fórmula. La derivada de la función inversa es la inversa de la derivada de la función original (en azul), pero en la que la variable independiente es la misma función inversa hallada anteriormente (marcada en rojo):

Cálculo de la función original en el ejercicio 2

Operando, se llega a la expresión final.

Al mismo resultado se llegaría derivando directamente la función inversa hallada siguiendo la regla de la derivada de un cociente:

Cálculo del resultado en el ejercicio 2

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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