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Derivada de la cosecante

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La derivada de la cosecante se obtiene indistintamente de una de estas dos expresiones equivalentes:

Fórmula de la derivada de la cosecante

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la cosecante, emplearemos la regla de la cadena. Se usan estas dos fórmulas trigonométricamente equivalentes:

Fórmula de la derivada de la cosecante por composición de funciones

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con la cosecante:

Enunciado del ejercicio 1

Laderivada se hallará con la fórmula de la derivada de la función compuesta con la cosecante:

Resultado del ejercicio 1

La derivada de la cosecante de una función f(x) se puede expresar como la fracción, con signo negativo, de la derivada f’(x) multiplicada por el coseno de f(x) partido por el seno al cuadrado de f(x).

Ejercicio 2

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Calcular la derivada de esta función, composición de funciones con la cosecante:

Enunciado del ejercicio 2

La derivada se hallará con la segunda fórmula alternativa de la derivada de la función compuesta con la cosecante, teniendo en cuenta que f’(x) es una derivada exponencial:

Resultado del ejercicio 2

La segunda expresión equivalente, expuesta arriba, se deduce de las relaciones trigonométricas.

Demostracion de la derivada de la cosecante

Para demostrar la fórmula usaremos la regla de derivación de la derivada de un cociente:

Definición de la fórmula en la demostración de la derivada de la cosecante

Pues sabemos las derivadas de estas dos funciones:

Derivada del seno y coseno en la demostración de la derivada

La segunda expresión equivalente, expuesta arriba, se deduce de las relaciones trigonométricas.

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