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Derivada implícita

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La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.

Una función implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.

No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner la función en forma explícita. Puede ser por la misma forma de la función o porque las dos variables estén dentro del argumento, tal como:

Derivada implícita con variables dentro del argumento

Muchas ecuaciones formuladas de forma implícita sí que se pueden transformar en forma explícita, aunque se pueden derivar sin necesidad de ser transformadas:

Función en forma implícita

Para derivar las ecuaciones que quedan definidas en forma implícita, se recurre a la llamada derivación implícita.

El proceso de derivación implícita consiste en obtener la derivada de esta función respecto de la variable x. Para ello hay que tomar la variable y como una función de x (se considera y = f(x)). La derivada de esta última función será y’.

En otras palabras, al derivar implícitamente se considera x como la variable independiente, mientras que a y se le considera una función.

Antes de derivar, si hubiere fracciones, conviene eliminar los denominadores con el mínimo común múltiplo. Mediante la aplicación del método de la cadena, se procederá a derivar, despejando finalmente y’.

Mediante ejercicios, se verá el proceso.

Derivación implícita con derivadas parciales

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Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.

Las derivadas parciales se han visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:

Fórmula de las derivadas parciales

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita:

Enunciado del ejercicio 1

Esta función es de las que se puede transformar fácilmente en forma explícita despejando la variable y, agrupando los términos en y, sacando factor común y despejandola:

Cálculo de la forma explícita del ejercicio 1

Y ya podemos derivar normalmente esta función, ahora explícita, en este caso con lo expuesto en la derivada de un cociente de funciones:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita:

Enunciado del ejercicio 2

Recordemos que y se considera función de x. Y tenemos las dos variables metidas en el argumento del seno.

Busquemos las derivadas de los dos términos de la ecuación:

Cálculo de las derivadas de los dos términos del ejercicio 2

En el segundo término tenemos que aplicar la regla de la cadena, teniendo en cuenta que le tenemos que aplicar también la derivada del producto al interior del argumento trigonométrico:

Cálculo de las derivada del producto del ejercicio 2

Agrupamos a una parte de la igualdad los términos con y’ del que sacamos factor común:

Cálculo agrupando del ejercicio 2

Despejamos y’ y tenemos la derivada de la función implícita buscada:

Resultado del ejercicio 2

Ejercicio 3

Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita. Hallarla también mediante el procedimiento de derivadas parciales:

Enunciado del ejercicio 3

Se deriva respecto a x, recordando que y = f(x):

Cálculo de la derivada respecto x del ejercicio 3

La derivada de la suma (y de la resta) es la suma/resta de las derivadas.

Cálculo de la derivada de la suma del ejercicio 3

El primer sumando es un producto (derivada de un producto de funciones). Recordemos también la derivada de una potencia. Derivamos y simplificamos:

Cálculo de la derivada del producto del ejercicio 3

Pasamos al primer término de la igualdad todo lo que tenga y’:

Cálculo despejando del ejercicio 3

Se saca factor común y’ y se despeja:

Cálculo sacando factor común del ejercicio 3

Obteniendo que la derivada implícita buscada y’ es:

Cálculo de la derivada implícita de x del ejercicio 3

Hallar y’ por derivadas parciales. La función, pasando todo al primer término es:

Cálculo del primer término del ejercicio 3

Aplicamos la fórmula de derivación por derivadas parciales:

Fórmula de las derivadas parciales por la derivada implícita

Derivamos la función en el numerador respecto a x, considerando y como una constante y derivamos en el denominador respecto a y, considerando x como una constante.

Cálculo del numerador del ejercicio 3

Obteniendo el mismo resultado.

Cálculo de la derivada implícita de x del ejercicio 3

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