Cargando...La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.
Una función implícita es aquella que la variable dependiente no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x.
No siempre es sencillo, o incluso no es posible, despejar la y para poner la función en forma explícita. Puede ser por la misma forma de la función o porque las dos variables estén dentro del argumento, tal como:
Muchas ecuaciones formuladas de forma implícita sí que se pueden transformar en forma explícita, aunque se pueden derivar sin necesidad de ser transformadas:
Para derivar las ecuaciones que quedan definidas en forma implícita, se recurre a la llamada derivación implícita.
El proceso de derivación implícita consiste en obtener la derivada de esta función respecto de la variable x. Para ello hay que tomar la variable y como una función de x (se considera y = f(x)). La derivada de esta última función será y’.
En otras palabras, al derivar implícitamente se considera x como la variable independiente, mientras que a y se le considera una función.
Antes de derivar, si hubiere fracciones, conviene eliminar los denominadores con el mínimo común múltiplo. Mediante la aplicación del método de la cadena, se procederá a derivar, despejando finalmente y’.
Mediante ejercicios, se verá el proceso.
Derivación implícita con derivadas parciales
Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.
Las derivadas parciales se han visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita:
Esta función es de las que se puede transformar fácilmente en forma explícita despejando la variable y, agrupando los términos en y, sacando factor común y despejandola:
Y ya podemos derivar normalmente esta función, ahora explícita, en este caso con lo expuesto en la derivada de un cociente de funciones:
Ejercicio 2
Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita:
Recordemos que y se considera función de x. Y tenemos las dos variables metidas en el argumento del seno.
Busquemos las derivadas de los dos términos de la ecuación:
En el segundo término tenemos que aplicar la regla de la cadena, teniendo en cuenta que le tenemos que aplicar también la derivada del producto al interior del argumento trigonométrico:
Agrupamos a una parte de la igualdad los términos con y’ del que sacamos factor común:
Despejamos y’ y tenemos la derivada de la función implícita buscada:
Ejercicio 3
Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita. Hallarla también mediante el procedimiento de derivadas parciales:
Se deriva respecto a x, recordando que y = f(x):
La derivada de la suma (y de la resta) es la suma/resta de las derivadas.
El primer sumando es un producto (derivada de un producto de funciones). Recordemos también la derivada de una potencia. Derivamos y simplificamos:
Pasamos al primer término de la igualdad todo lo que tenga y’:
Se saca factor común y’ y se despeja:
Obteniendo que la derivada implícita buscada y’ es:
Hallar y’ por derivadas parciales. La función, pasando todo al primer término es:
Aplicamos la fórmula de derivación por derivadas parciales:
Derivamos la función en el numerador respecto a x, considerando y como una constante y derivamos en el denominador respecto a y, considerando x como una constante.
Obteniendo el mismo resultado.