Composición de funciones

La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x.

Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como:

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f)(x) primero actua la función f y luego la g sobre f(x).

La derivada de una composición de funciones se realiza por la llamada regla de la cadena. Consiste en derivar también en orden de derecha a izquierda. Se deriva primero la función exterior g (pero evaluada sobre la función interior f) multiplicándolo por la derivada de la función interior f, según esta secuencia:

Ejercicio

Sean las funciones f y g tales que f(x)=x+1 y g(x)=x²+2. Calcularemos la función composición (g o f)(x).

Y tenemos que la composición de las funciones f y g es (g o f)(x) = x²+2x+3.

Propiedades de las funciones compuestas

1. La composición de funciones es asociativa
   

   Por ejemplo:

   
2. La composición de funciones no es conmutativa
   

   Por ejemplo:

   
3. El elemento neutro en las funciones compuestas es la función identidad (id).
   
4. El función inversa de la composición de funciones f y g es:
   

Dominio de la función composición

Sean Dom f el dominio de la función f y Dom g el de g, entonces el dominiode la función composición es: