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Cargando...El Teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0.
El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:
Corolario:
Si una función tiene más de una raíz real, entonces entre dos raíces consecutivas la función toma valores o positivos o negativos:
Ejercicio
Comprobar si en la función f(x) = x² – 3x -1 y en el intervalo [2, 4] se cumple el teorema de Bolzano.
Primero comprobaremos si se cumplen las dos condiciones del teorema:
- Como es una función cuadrática, es continua y derivable en todo su dominio, incluido, por lo tanto, en [2, 4].
- Veamos si son diferentes los signos los extremos del intervalo.
Se cumplen las dos premisas del teorema.
Busquemos el punto c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0. Para ello, hallemos las raíces de la función cuadrática.
El determinante Δ es positivo, luego tiene dos raíces:
Solamente la primera raíz, 3,30, pertenece al intervalo (2, 4). Es el punto c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0.
El ejercicio se ve gráficamente:
