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Teorema de Bolzano

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El Teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0.

Fórmula del teorema de Bolzano

El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:

Gráfica del teorema de Bolzano

Ejercicio

Comprobar si en la función f(x) = x² – 3x -1 y en el intervalo [2, 4] se cumple el teorema de Bolzano.

Primero comprobaremos si se cumplen las dos condiciones del teorema:

Busquemos el punto c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0. Para ello, hallemos las raíces de la función cuadrática.

Raíces del ejercicio 1

El determinante Δ es positivo, luego tiene dos raíces:

Determinante del ejercicio 1

Solamente la primera raíz, 3,30, pertenece al intervalo (2, 4). Es el punto c ∋ (a, b) para el que f(c) = 0.

El ejercicio se ve gráficamente:

Gráfica del ejercicio 1

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