Derivadas parciales

Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en este caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un pequeño cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la variable x).

Como ahora no estamos ante una función y = f(x) que varía cuando cambia la única variable independiente x de esa función, sino que hay varias variables, para subrayar que se trata de cambios en la función multivariable utilizaremos el símbolo ∂ para distinguirlo del símbolo d, que es el que indica un pequeño cambio en el caso de las funciones ordinarias.

Las derivadas parciales de una función multivariable las definiremos también mediante un límite, si este límite existiera, haciendo extensiva la definición de una derivada ordinaria.

Las derivadas parciales de una función u = f(x , y, z) serían:

1. En el primer caso, la derivada parcial de la función respecto a x, se consideran las variables independientes y y z como unas constantes.
2. En el segundo caso, respecto a y, se consideran las variables independientes x y z como unas constantes.
3. En el tercer caso, la derivada parcial de la función respecto a z, se consideran las variables independientes x e y como unas constantes.

En la imagen de arriba se ha puesto en azul la variable sobre la que se obtiene la derivada parcial.

Se procederá a derivar empleando las reglas de derivación conocidas en las derivadas ordinarias.

Derivación implícita con derivadas parciales

Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.

La derivación implícita se ha visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar las derivadas parciales de esta función de dos variables:

Solución:

Cuando derivamos parcialmente respecto de una de las variables, la otra se considera una constante. Se utilizan las reglas de derivación conocidas:

Ejercicio 2

Hallar las derivadas parciales de esta función:

Solución:

Cuando derivamos parcialmente respecto de una de las variables, la otra se considera una constante. Utilizamos las reglas de derivación conocidas:

Ejercicio 3

Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita. Hallarla también mediante el procedimiento de derivadas parciales:

Se deriva respecto a x, recordando que y = f(x):

La derivada de la suma (y de la resta) es la suma/resta de las derivadas.

El primer sumando es un producto (derivada de un producto de funciones). Recordemos también la derivada de una potencia. Derivamos y simplificamos:

Pasamos al primer término de la igualdad todo lo que tenga y’:

Se saca factor común y’ y se despeja:

Obteniendo que la derivada implícita buscada y’ es:

Hallar y’ por derivadas parciales. La función, pasando todo al primer término es:

Aplicamos la fórmula de derivación por derivadas parciales:

Derivamos la función en el numerador respecto a x, considerando y como una constante y derivamos en el denominador respecto a y, considerando x como una constante.

Obteniendo el mismo resultado.