× NO BLOQUEES a Universo Formulas

¡Hola! Al parecer tienes en el navegador un bloqueador de anuncios (Adblocker, Ablock Plus,...) que impide que se visualicen nuestros anuncios.

Queremos recordarte que este proyecto vive únicamente de la publicidad y que sin estos ingresos no podremos seguir ayudándote.

No te pedimos que desinstales tu bloqueador de anuncios, sólo que no actúe en las páginas de nuestro dominio universoformulas.com y así podremos mostrarte nuestros bloques de anuncios.

Icono de AdBlock Icono de AdBlock Plus Icono de UBlock Icono de AdBlock Pro Icono de Fair AdBlock Icono de Adguard AdBlock

¡Gracias por todo y que sigas disfrutando de Universo Formulas!

Este aviso se cerrará automáticamente en 30 segundos.

Derivadas parciales

ANUNCIOS
1 estrella2 estrellas3 estrellas4 estrellas5 estrellas (Ninguna valoración todavía)
Cargando…

Las derivadas parciales de una función con varias variables f(x , y, z) (tres en este caso) nos informa de cómo cambia la función (df) cuando se produce un pequeño cambio en una única variable independiente (por ejemplo dx en la variable x).

Como ahora no estamos ante una función y = f(x) que varía cuando cambia la única variable independiente x de esa función, sino que hay varias variables, para subrayar que se trata de cambios en la función multivariable utilizaremos el símbolo para distinguirlo del símbolo d, que es el que indica un pequeño cambio en el caso de las funciones ordinarias.

Las derivadas parciales de una función multivariable las definiremos también mediante un límite, si este límite existiera, haciendo extensiva la definición de una derivada ordinaria.

Las derivadas parciales de una función u = f(x , y, z) serían:

Fórmula de las derivadas parciales
  1. En el primer caso, la derivada parcial de la función respecto a x, se consideran las variables independientes y y z como unas constantes.
  2. En el segundo caso, respecto a y, se consideran las variables independientes x y z como unas constantes.
  3. En el tercer caso, la derivada parcial de la función respecto a z, se consideran las variables independientes x e y como unas constantes.

En la imagen de arriba se ha puesto en azul la variable sobre la que se obtiene la derivada parcial.

Se procederá a derivar empleando las reglas de derivación conocidas en las derivadas ordinarias.

Derivación implícita con derivadas parciales

ANUNCIOS


Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita.

La derivación implícita se ha visto en otro capítulo. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:

Cálculo de la derivada implícita de x del ejercicio 3

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar las derivadas parciales de esta función de dos variables:

Enunciado del ejercicio 1 de derivadas parciales

Solución:

Cuando derivamos parcialmente respecto de una de las variables, la otra se considera una constante. Se utilizan las reglas de derivación conocidas:

Solución del ejercicio 1 de derivadas parciales

Ejercicio 2

Hallar las derivadas parciales de esta función:

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Cuando derivamos parcialmente respecto de una de las variables, la otra se considera una constante. Utilizamos las reglas de derivación conocidas:

Enunciado del ejercicio 2

Ejercicio 3

Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita. Hallarla también mediante el procedimiento de derivadas parciales:

Enunciado del ejercicio 3

Se deriva respecto a x, recordando que y = f(x):

Cálculo de la derivada respecto x del ejercicio 3

La derivada de la suma (y de la resta) es la suma/resta de las derivadas.

Cálculo de la derivada de la suma del ejercicio 3

El primer sumando es un producto (derivada de un producto de funciones). Recordemos también la derivada de una potencia. Derivamos y simplificamos:

Cálculo de la derivada del producto del ejercicio 3

Pasamos al primer término de la igualdad todo lo que tenga y’:

Cálculo despejando del ejercicio 3

Se saca factor común y’ y se despeja:

Cálculo sacando factor común del ejercicio 3

Obteniendo que la derivada implícita buscada y’ es:

Cálculo de la derivada implícita de x del ejercicio 3

Hallar y’ por derivadas parciales. La función, pasando todo al primer término es:

Cálculo del primer término del ejercicio 3

Aplicamos la fórmula de derivación por derivadas parciales:

Fórmula de las derivadas parciales por la derivada implícita

Derivamos la función en el numerador respecto a x, considerando y como una constante y derivamos en el denominador respecto a y, considerando x como una constante.

Cálculo del numerador del ejercicio 3

Obteniendo el mismo resultado.

Cálculo de la derivada implícita de x del ejercicio 3

SI TE HA GUSTADO, ¡COMPÁRTELO!

También te podría gustar...

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *