Interpretación geométrica de la derivada - Universo Formulas

Interpretación geométrica de la derivada

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Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx]. Es el siguiente cociente:

Fórmula de la tasa de variación media

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δ x, es decir, la tangente del ángulo α:

Representación de la tasa de variación media

O, lo que es lo mismo:

Fórmula 2 de la tasa de variación media

Si hacemos Δ x cada vez menor, de manera que tienda a cero, los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx tienden a confundirse en un punto.

De esta manera, la recta secante anterior, en el límite pasa a ser la tangente a la gráfica de la función en (a, f(a)), es decir, la tangente del ángulo α:

Resultado del ejercicio 1

Sabiendo la derivada, o lo que es lo mismo, la tangente del ángulo que forma la recta tangente, se puede obtener la ecuación de dicha recta, como se verá en el ejercicio.

Esta interpretación geométrica de la derivada ilustra la no derivabilidad en un punto anguloso, como en el caso, el (0, 0) de la imagen, punto donde no se puede trazar una única tangente. No hay derivada en ese punto.

Punto anguloso en la interpretación geométrica de la derivada

Como se ha dicho, la derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea en ese punto: T.V.I.(a).

Ejercicio

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Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x⊃2 en el punto de abscisa x = 1. Determinar también la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el mismo punto.

Solución:

La ecuación de una recta de la que se conoce su pendiente m y uno de sus puntos (y0, x0) es:

Cálculo de la pendiente del ejercicio 1

La pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto es precisamente la derivada en ese punto, m = f’(x0).

Hallamos la derivada de la función para x = 1 según la fórmula general de la derivada:

Cálculo de la derivada del ejercicio 1

El valor de la derivada en ese punto es 2. Vamos a realizar el cálculo, derivando directamente según la regla de la derivada de una potencia:

Cálculo de la derivada de una potencia del ejercicio 1

Llegando al mismo valor de la derivada en x = 1, o, lo que es lo mismo, al valor de la pendiente de la recta tangente:

Con este datos ya se puede escribir la ecuación de la recta tangente:

Cálculo de la recta tangente de una potencia del ejercicio 1

Para la recta normal a la función en ese punto, la pendiente es la inversa de la pendiente de la recta tangente con signo contrario:

Cálculo de la recta normal de una potencia del ejercicio 1

El resultado gráfico del ejercicio se ve en la imagen:

Gráfica en el ejercicio 1 de la interpretación geométrica de la derivada

AUTOR: Bernat Requena Serra


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