Interpretación geométrica de la derivada

Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx]. Es el siguiente cociente:

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δ x, es decir, la tangente del ángulo α:

O, lo que es lo mismo:

Si hacemos Δ x cada vez menor, de manera que tienda a cero, los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx tienden a confundirse en un punto.

De esta manera, la recta secante anterior, en el límite pasa a ser la tangente a la gráfica de la función en (a, f(a)), es decir, la tangente del ángulo α:

Sabiendo la derivada, o lo que es lo mismo, la tangente del ángulo que forma la recta tangente, se puede obtener la ecuación de dicha recta, como se verá en el ejercicio.

Esta interpretación geométrica de la derivada ilustra la no derivabilidad en un punto anguloso, como en el caso, el (0, 0) de la imagen, punto donde no se puede trazar una única tangente. No hay derivada en ese punto.

Como se ha dicho, la derivada f’(a) es la tasa de variación instantánea en ese punto: T.V.I.(a).

Ejercicio

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x⊃2 en el punto de abscisa x = 1. Determinar también la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el mismo punto.

Solución:

La ecuación de una recta de la que se conoce su pendiente m y uno de sus puntos (y₀, x₀) es:

La pendiente de la recta tangente a la curva de una función en un punto es precisamente la derivada en ese punto, m = f’(x₀).

Hallamos la derivada de la función para x = 1 según la fórmula general de la derivada:

El valor de la derivada en ese punto es 2. Vamos a realizar el cálculo, derivando directamente según la regla de la derivada de una potencia:

Llegando al mismo valor de la derivada en x = 1, o, lo que es lo mismo, al valor de la pendiente de la recta tangente:

Con este datos ya se puede escribir la ecuación de la recta tangente:

Para la recta normal a la función en ese punto, la pendiente es la inversa de la pendiente de la recta tangente con signo contrario:

El resultado gráfico del ejercicio se ve en la imagen: