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Análisis matemático

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ANÁLISIS MATEMÁTICO
  1. ¿Qué es el análisis?
  2. Funciones
  3. Límites
  4. Sucesiones (Próximamente)
  1. Series (Próximamente)
  2. Derivadas (Próximamente)
  3. Integrales (Próximamente)

¿Qué es el análisis?

El análisis matemático es una área de las matemáticas que estudia el comportamiento de los números reales (que son la base sobre la que parte el análisis en matemáticas) y los números complejos. Abarca también las construcciones que se obtienen de estos números, tales como las funciones, series, sucesiones, continuidad, límites y convergencia así como las ramas de la integración y derivabilidad.

Dibujo del dominio de una función.

A partir de las construcciones obtenidas de dichos números y de nociones como función, límite, series y sucesiones, convergencia y continuidad, da lugar a ramas diversas como derivadas y cálculo integral o teoría de funciones.

Funciones

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Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto.

Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta.

Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.

Expresión general de una función.
Dibujo de una función entre dos conjuntos.

El elemento x del primer conjunto es la variable independiente. Es un valor que se fija previamente.

La letra y es la variable dependiente y corresponde a los elementos del conjunto final. Ésta variable depende del valor de la variable independiente x.

A f(x) se le denomina imagen de x, mientras que a x se le llama antiimagen de f(x).

Límites

La noción de límites se refiere en términos coloquiales a lo que nos lleva nuestra intuición: es aquello a lo que nos podemos acercar hasta que queramos.

El límite es una noción muy importante en el cálculo matemático. Fundamental para áreas, continuidad, asíntotas, convergencia, derivadas o integrales.

En el límite de una función las claves son la variable x y los diferentes valores que adquiere la función f(x). En el límite de una sucesión, la equivalencia del papel de x es el índice n, mientras que los términos an de la sucesión equivaldrían al papel de los valores de f(x).

Límite define formalmente ese valor cuando nos acercamos a un determinado punto, tanto para el límite de una función como para el límite de una sucesión.

En matemáticas, el límite de una función en un punto o el de una sucesión es el valor único al que se acerca la función cuando la variable independiente x se aproxima, tan cerca como queramos, a un valor establecido o es el término de una sucesión cuando el índice n tiende al infinito.

En una función, si al valor del límite lo llamamos L y al punto al que tiende la variable independiente lo llamamos a, la expresión del límite sería:

Expresión de un límite

Se puede ver en esta figura:

Figura 1 del dibujo de un límite

El límite, si existe, no requiere que exista en la función el valor f(a), aunque el límite tienda a él. También puede ocurrir que el valor de la función en el punto x = a sea un valor diferente al del límite buscado.

Como en este caso, en que el límite L existe aunque no exista el valor f(a) en esta función:

Límite cuando no existe f(a)

Aparte de tender la x a un número finito a, pueden haber límites en que x tienda a +∞ (en los que nos acercaremos a +∞ por la izquierda de la recta real), a -∞ (en los que nos acercaremos a +∞ por la derecha) o, genéricamente a . Son los límites en el infinito.

Figura 2 de límite en el infinito

Cuando la función tiende a hacerse indefinidamente grande hacia valores positivos o negativos, estamos en un caso de límites infinitos.

Figura 3 de límite infinito

Una sucesión puede tener un límite finito (sucesión convergente), infinito (sucesión con límite infinito) o, simplemente, no tener límite.

Hay muchos límites de una sucesión de gran importancia en el cálculo matemático, como por ejemplo el número e.

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