La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a.
Sabemos que la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo de la recta tangente a ese punto con el eje de abscisas.
Veamos la figura:
Puesto que:
En general, cuando Δx es pequeño, la diferencial df(x) SR es una buena aproximación del incremento de la función Δf(x) SB.
Es decir que la diferencial de una función en un punto, cuyo símbolo es dy o df(x), es el producto de la derivada de la función en ese punto por la diferencial o incremento de la variable x.
Ejercicio
Desde un torre cae un objeto sin velocidad inicial en caída libre. ¿Cuántos metros recorrerá en su descenso desde el segundo 10 al segundo 10,01?
La relación entre la altura y el tiempo es:
Como:
Y diferenciamos la función:
Dando valores, hallamos la diferencial de la función de la caída libre en el tiempo 5 segundos para un incremento de una centésima de segundo:
Realmente ha caído más distancia:
Diferenciando, se ha cometido un error de 0,4910 – 0,4905 = 0,0005 m.