Aplicaciones de las derivadas - Universo Formulas

Aplicaciones de las derivadas

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Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones.

En primer lugar, ofrece la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Gráfica en el ejercicio 1 de la interpretación geométrica de la derivada

Pero tienen muchas más utilidades.

Esta lista, siguiendo el enlace, nos lleva a las más importantes aplicaciones de las derivadas:

Monotonía de una función

Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de una función en un intervalo.

Cuadro de la monotonía de una función
Ejemplo 2 de una función monótona

Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el siguiente procedimiento:

  1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
  2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos la derivada sea f’(x) = 0.
  3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
  4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.

Curvatura de una función

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La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de una función. La segunda derivada determina la curvatura.

Cuadro del teorema primero de curvatura
Gráfica del teorema primero de curvatura

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

(Hay autores que adoptan el criterio contrario, llamando cóncava a la forma de valle y convexa a la forma de montaña).

Puntos de inflexion

La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión.

Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de concavo a convexo o viceversa.

En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto de inflexión de tangente horizontal.

Dibujo de puntos de inflexión

Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).

Este sería el caso de la función f(x) = 2x4. En ella, la segunda derivada f’’(x) = 24x2. Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se desarrollará en el ejercicio 2:

Dibujo de un ejemplo de un punto de inflexión

Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde se verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:

  1. Criterio de la segunda derivada
  2. Criterio de la tercera derivada (o sucesivas)

Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada.

Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera en c debe ser nula, f’(c) = 0.

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si ese punto es un extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:

Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de tangente horizontal. Los puntos en que se anula la primera derivada se denominan puntos críticos.

Criterio de la derivada primera

El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.

El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.

El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.

El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:

Cuadro del criterio de la derivada primera

Criterio de la segunda derivada

El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es negativa.

El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es positiva.

El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este cuadro:

Cuadro del criterio de la derivada segunda

Regla de l’Hôpital

La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la derivación>.

Aplicación de la regla de L’Hôpital

Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:

Verificación en la regla de l'Hôpital

Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador.

Es una indeterminación del tipo 0/0.

Entonces se verifica que:

Fórmula de la regla de l'Hôpital

Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera existir el límite de f/g).

El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.

La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede hacer la transformación:

Transformación 1 en la regla de l'Hôpital

En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1, 00; o 0, mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría aplicar la regla de L’Hôpital.

Tasa de variación

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Estudiar las tasas de variación.

La tasa de variación media se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α.

La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación media cuando el incremento de x tiende a cero. La T.V.I es la derivada de la función en ese punto:

Fórmula 2 de la tasa de variación instantánea

Teoremas de las derivadas

Los Teoremas de Rolle, Teorema del Valor Medio y Teorema de Cauchy.

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.

Gráfica del teorema de Rolle

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)

El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:

Fórmula del teorema del Valor Medio

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Gráfica del teorema del Valor Medio

Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

Fórmula del teorema de Cauchy

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

Constante del teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio.

Optimización

Resolver problemas de optimización.

La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o mínimo de una función determinada que recoja el objetivo a optimizar, se averigua el valor o valores de las variables que hay que ajustar.

Dibujo del planteamiento del problema del ejercicio 1

Otras aplicaciones

Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o hallar aproximadamente los valores de una función mediante la diferencial.

La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a.

Gráfico de la diferencial de una función
Fórmula de la diferencial de una función
Fórmuladel incremento en la diferencial de una función

AUTOR: Bernat Requena Serra


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1 comentario en “Aplicaciones de las derivadas”

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