La derivada permite estudiar la monotonía de una función.
También la derivada determina si una función es monótona creciente o decreciente en un intervalo o en todo su recorrido.
Los criterios para establecer la monotonía en una función (o en sus intervalos) mediante la derivada son los siguientes:
Esta es una función exponencial monótona estrictamente creciente con la función derivada positiva en todo el dominio:
Para los casos de crecimiento estricto o decrecimiento estricto, puede ocurrir que la condición contraria no se verifique, es decir que la función sea estrictamente creciente aunque en algún punto se anule su derivada. Veamos un caso:
Es una función estrictamente creciente, porque su derivada es positiva aunque hay un punto en que se anula, ya que es creciente a la izquierda y a la derecha de ese punto.
Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el siguiente procedimiento:
- Derivar la función, obteniendo f’(x).
- Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos la derivada sea f’(x) = 0.
- Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
- Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.
Ejercicio
Hallar los intervalos de monotonía de la función:
Hallamos su derivada:
Obtenemos sus raíces por el procedimiento de la función cuadrática, que resultarán 1 y 3. Estos serán los puntos críticos a estudiar en la función f(x).
Los intervalos de monotonía a estudiar serán (-∞, 1) , (1, 3) y (3, +∞).
Para estudiar el signo de la derivada f’(x) en cada intervalo, y como tenemos las raíces, la misma función puede expresarse en forma factorial:
Como la función derivada está ahora en forma de producto de dos factores, si, dando valores a x los dos factores tienen el mismo signo en un intervalo, el signo de la derivada será positivo. Si el signo de los dos factores es diferente, el signo de la derivada en ese intervalo será negativo. Lo podemos ver en este esquema gráfico:
El signo de la función derivada en el intervalo (-∞, 1) es positivo, por lo que este intervalo la función será estrictamente creciente.
El signo de la función derivada en el intervalo (1, 3) es negativo, por lo que este intervalo la función será estrictamente decreciente.
Y el signo de la función derivada en el intervalo (3, +∞) es positivo, por lo que este intervalo la función será estrictamente creciente.
Son tres intervalos abiertos. En los puntos x = 1 y x = 3 la derivada es nula habiendo cambiado de signo en su entorno. Son dos puntos de inflexión.
Lo visto en el ejercicio se puede ver en la figura siguiente: