El crecimiento y decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.
La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.

Crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
- Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
- Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
- Una función es constante entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2). Es decir, es constante en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, la variable dependiente y no varia.
Ver ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Crecimiento y decrecimiento en un punto
Sea una función f derivable en el punto a.
- La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.
- La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.
- La función f es constante en a si f ’(a) = 0 y además es la derivada es nula en los puntos muy próximos a a. Es decir, es constante si la derivada es nula en a y en un entorno de a.
En este caso, se exige que la derivada sea nula también en la proximidad de a ya que o sino sería un máximo o mínimo.
Ver ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.
- Derivar la función, obteniendo f ’(x).
- Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.
- Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.
Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían (-∞,1) , (1,3) y (3,+∞) .
- Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:
Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo.
- A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Crecimiento y decrecimiento en todo el dominio
- Una función f es creciente en todo su dominio si es creciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≥ 0.
- Una función f es decreciente en todo su dominio si es decreciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≤ 0.
- Una función f es constante en todo su dominio si es constante en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) = 0.
En estos casos se trata de funciones monótonas.
Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x2 en los intervalos [-2,-1] y [1,3].

- Primero estudiamos la función en el intervalo [-2,-1], es decir a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x1=-1,8 y x2=-1,2.
La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2, por lo que la función en [-2,-1] es decreciente.
- Acto seguido, se estudia el crecimiento y decrecimiento en el intervalo [1,3], es decir a=1 y b=3. Vamos a ver en los puntos x1=1,5 y x2=2,5.
En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo [1,3].
Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto
Estudiar el crecimiento y decrecimiento en los puntos 0, 2 y 3 de la función f(x)=x3-5x2+5x+4.

Primero calcularemos la derivada de la función f:

- Veamos en el punto x=0.
La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.
- Estudiaremos en el punto x=2.
La derivada da f ’(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2.
- Finalmente estudiaremos el punto x=3.
La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Sea la función f definida en los número reales (intervalo (-∞,+∞) ):

Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.

- Derivamos la función, obteniendo f ’(x).
- Hallamos las raíces de la derivada:
- Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:
- Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
- Hallamos que:
- f es creciente en (-∞,0) y en (2,+∞) .
- f es decreciente en (0,2) .
tengo una pregunta y es que¿ en que período la función crece? no entiendo el significado de periodo
En matemáticas, el significado lo puedes encontrar en la página de UNIVERSO FÓRMULA Período
En física, el significado, definido, es: Tiempo que tarda un fenómeno periódico en recorrer todas sus fases, como el que emplea un péndulo en su movimiento de vaivén, la Tierra en su movimiento alrededor del Sol, etc.
Y puedes consultar la página Función periódica también en UNIVERSO FÓRMULAS
Muy bueno. Tengo una duda. Cuando se utilizada la segunda derivada? Porque he visto que la usan para lo mismo pero no los mismos signos.
Consulta la página *derivadas y curvatura* en UNIVERSO FÒRMULAS
Consulta la página *derivadas y curvatura* en UNIVERSO FÒRMULAS
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excelente!! entendi muy bien
Excelente! Muy bien explicado
Muy bien explicado todo. Felicitaciones
Hola, buen diaaa, les queria comunicar que no entendi nada, muchas gracias por hacerme perder el tiempo 🙂
Que no lo entiendas no significa que está mal explicado, significa que tienes que buscar otras formas u otros métodos para que tu comprendas, espero que lo hayas conseguido hace 5 meses, bye 🙂
Hola, una consulta. Que se debe hacer si las raíces de la derivada son números imaginarios?
Interesan solamente las raíces reales.
Me quedó muy claro el tema. Sigan asi de bien!
Excellente se les felicita desde acá Venezuela! en espera de Límites – Próximamente
Sucesiones – Próximamente
Series – Próximamente
Derivadas – Próximamente
Integrales – Próximamente
Saludos!