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Regla de la cadena

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La regla de la cadena trata de obtener por un procedimiento más sencillo que a través de límites la derivada de una composición de funciones.

Vimos que una composición de funciones (o función compuesta, o función de función) es una función compuesta por otras dos (que pueden ser más) f y g y se denota así:

Fórmula de la composición de funciones

La imagen de f pertenece al dominio de g:

(Im f ⊆ Dom g)

Una composición de funciones es la aplicación sucesiva de dos (o más) funciones sobre la variable x. En este caso actúa en primer lugar f(x), y luego es g la que actúa sobre f(x). De derecha a izquierda.

Un caso como este:

Caso particular de la regla de la cadena

La regla de la cadena consiste en que, si f(x) es derivable de x en un cierto intervalo I y g(a) es también derivable y definida en otro intervalo que contiene a todas las imágenes de f(x), entonces la derivada de la función compuesta es:

Fórmula de la regla de la cadena

Se deriva primero la función exterior g (pero evaluada sobre la función interior f) multiplicándolo por la derivada de la función interior f.

La regla de la cadena para obtener derivada de la composición de dos funciones es válida también para la derivada de la composición de tres o más funciones, aplicándola sucesivamente. En este caso, de tres funciones:

Fórmula de la regla de la cadena para tres funciones

Ejercicios

Ejercicio 1

Aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de esta función compuesta:

Enunciado del ejercicio 1

Es la composición de las funciones:

Primera función del ejercicio 1

Y:

Segunda función del ejercicio 1

La función g actúa sobre la función f. Las dos funciones son continuas y derivables, por funciones elementales (función radical y función polinómica). Para hallar su derivada aplicamos la regla de la cadena.

Primero, derivamos f(x):

Derivada de f del ejercicio 1

Después, la función g, sustituyendo el valor a:

Derivada de g del ejercicio 1

Se aplica la regla de la cadena y se halla la derivada de esta composición de funciones:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 2

Hallar la derivada de la siguiente función compuesta:

Enunciado del ejercicio 2

Es la composición de las funciones:

Primera función del ejercicio 2

Y:

Segunda función del ejercicio 2

La función g actúa sobre la función f. Las dos funciones trigonométricas son continuas y derivables, por funciones elementales. Para hallar su derivada aplicamos la regla de la cadena.

Primero, derivamos f(x) que, a su vez es la composición de las funciones a = f(x) = sen b y de la función b = 5x, para lo que les aplicamos por primera vez la regla:

Derivada de f del ejercicio 2

Luego la función g, sustituyendo el valor a:

Derivada de g del ejercicio 2

Podemos aplicar por segunda vez la regla de la cadena y obtendremos la derivada de esta composición de funciones:

Resultado del ejercicio 2

Ejercicio 3

Hallar la derivada de la siguiente función compuesta de tres funciones aplicando la regla de la cadena:

Enunciado del ejercicio 3

Aplicándola sucesivamente a las tres funciones que forman la composición.

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