La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de una función. La segunda derivada determina la curvatura.
En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.
(Hay autores que adoptan el criterio contrario, llamando cóncava a la forma de valle y convexa a la forma de montaña).
Veamos el estudio de la curvatura de una función por el método de la primera derivada llamado teorema primero de curvatura:
Como es el siguiente caso:
Otro criterio para ver el crecimiento o decrecimiento es el teorema segundo de curvatura. La derivada segunda es un instrumento excelente para ver si la primera derivada crece o decrece, y por tanto, saber si la función, en ese intervalo estudiado, es creciente o decreciente. Este teorema se muestra en esta imagen.
Todo lo dicho se puede comprobar en las siguientes gráficas de las funciones primitivas, primera derivada y segunda derivada. Se ve que cuando la segunda derivada en un punto c cualquiera de un intervalo, tal que f’’(c) sea positiva, entonces la función primitiva f(x) en ese intervalo es convexa. Por el contrario, cuando la segunda derivada en un punto d cualquiera de un intervalo, tal que f’’(d) sea negativa, entonces la función primitiva f(x) en ese intervalo será convexa.
Cuando en un punto de la función x0 pasa de convexa a cóncava o viceversa, entonces en ese punto la función tiene un punto de inflexión. En la imagen de abajo, el punto de inflexión es el punto (1, 1), donde x0 = r1 = 1. En él, la función no es ni cóncava ni convexa. (En este caso, pasa de convexa a cóncava).
Estudio de la convexidad y concavidad de una función
Para estudiar la convexidad y concavidad de una función, debemos seguir los siguientes pasos:
- Calculamos la segunda derivada de f, es decir f».
- Resolvemos la ecuación f»(x) = 0 y calculamos las raíces. Estas raíces serán los posibles puntos de inflexión.
- Dibujamos la recta real y sobre ella marcamos las raíces de f» y los puntos de discontinuidad de la función (si los tuviese).
- Creamos intervalos entre los puntos de inflexión. Dentro de estos intervalos la función siempre será o convexa o cóncava.
- Estudiamos el signo de f»(x) en los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto xi cualquiera dentro de cada intervalo y hallamos la segunda derivada de f en dicho punto, f»(xi).
- Si f»(xi) es positiva, la función es convexa en ese intervalo.
- Si f»(xi) es negativa, la función es cóncava en ese intervalo.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Estudiar la curvatura, intervalos de concavidad o convexidad, de esta función:
Hallamos su primera derivada y su segunda derivada:
Igualamos la segunda derivada a cero. Esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales porque el discriminante Δ es negativo.
La función vemos que es continua para todo su dominio. Por el teorema primero de curvatura la primera derivada es creciente, luego la función es convexa. Igualmente, por el teorema segundo de curvatura, la derivada segunda en todo el dominio es positiva, por lo que se ratifica que la función f(x) es estrictamente convexa.
Lo que se comprueba en las gráficas de la imagen:
Ejercicio 2
Estudiar la curvatura, intervalos de concavidad o convexidad, de esta función:
Hallamos su primera derivada y su segunda derivada:
Igualamos la segunda derivada a cero. Esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales porque el discriminante Δ es negativo
La función vemos que es continua para todo su dominio. Por el teorema primero de curvatura la primera derivada es decreciente, luego la función es concava. Igualmente, por el teorema segundo de curvatura, la derivada segunda en todo el dominio es negativa, por lo que se ratifica que la función f(x) es estrictamente concava.
Lo que se comprueba en las gráficas de la imagen:
Ejercicio 3
Estudiar la curvatura, intervalos de concavidad o convexidad, de esta función:
Hallamos su primera derivada y su segunda derivada:
Igualamos la segunda derivada a cero. La ecuación de segundo grado no tiene raíces reales porque el discriminante Δ es negativo.
Estas raíces son -1 y 1, que son las abscisas de los posibles puntos de inflexión. Estos puntos de inflexión de f(x) delimitan intervalos cóncavos y convexos. Tomamos unos puntos cualesquiera de estos intervalos para ver el signo de la segunda derivada. Por ejemplo los puntos de abscisas -2, 0 y 2.
Colocamos sobre la recta real las dos raíces halladas y el signo de la derivada segunda en los tres puntos elegidos en los tres intervalos delimitados para ver el tipo de curvatura de cada uno de ellos:
El resultado se plasma sobre estas gráficas: