× NO BLOQUEES a Universo Formulas

¡Hola! Al parecer tienes en el navegador un bloqueador de anuncios (Adblocker, Ablock Plus,...) que impide que se visualicen nuestros anuncios.

Queremos recordarte que este proyecto vive únicamente de la publicidad y que sin estos ingresos no podremos seguir ayudándote.

No te pedimos que desinstales tu bloqueador de anuncios, sólo que no actúe en las páginas de nuestro dominio universoformulas.com y así podremos mostrarte nuestros bloques de anuncios.

Icono de AdBlock Icono de AdBlock Plus Icono de UBlock Icono de AdBlock Pro Icono de Fair AdBlock Icono de Adguard AdBlock

¡Gracias por todo y que sigas disfrutando de Universo Formulas!

Este aviso se cerrará automáticamente en 30 segundos.

Teoremas de las derivadas

ANUNCIOS
1 estrella2 estrellas3 estrellas4 estrellas5 estrellas (Ninguna valoración todavía)
Cargando…

Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto, de continuidad.

Son:

Los tres últimos teoremas son como un “paquete”, una unidad de concepto, puesto que cada uno es un caso particular del siguiente.

Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para el que f(c) = 0.

Fórmula del teorema de Bolzano

El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:

Gráfica del teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.

Gráfica del teorema de Rolle

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)

El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:

Fórmula del teorema del Valor Medio

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Gráfica del teorema del Valor Medio

Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

Fórmula del teorema de Cauchy

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

Constante del teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio.

El teorema del Valor Medio o de Lagrange es un caso particular del teorema de Cauchy. Cuando g(x) = x, el teorema de Cauchy se reduce al de Lagrange. En efecto:

Generalización en la demostración

Como la derivada de la segunda función es la unidad:

Unidad en la demostración

Se comprueba que la expresión de Cauchy, en este caso queda reducida a la de Lagrange.

Reducción en la demostración

El teorema de Cauchy se emplea para demostrar, entre otros, el teorema de l’Hôpital, básico para resolver ciertos límites indeterminados.

SI TE HA GUSTADO, ¡COMPÁRTELO!

También te podría gustar...

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *