Teoremas de las derivadas

Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto, de continuidad.

Son:

• Teorema de Bolzano
• Teorema de Rolle
• Teorema del Valor Medio o de Lagrange
• Teorema de Cauchy o teorema del Valor Medio Generalizado

Los tres últimos teoremas son como un “paquete”, una unidad de concepto, puesto que cada uno es un caso particular del siguiente.

Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para el que f(c) = 0.

El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:

Corolario:

Si una función tiene más de una raíz real, entonces entre dos raíces consecutivas la función toma valores o positivos o negativos:

Teorema de Rolle

El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.

El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.

Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)

El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:

El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.

El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio.

El teorema del Valor Medio o de Lagrange es un caso particular del teorema de Cauchy. Cuando g(x) = x, el teorema de Cauchy se reduce al de Lagrange. En efecto:

Como la derivada de la segunda función es la unidad:

Se comprueba que la expresión de Cauchy, en este caso queda reducida a la de Lagrange.

El teorema de Cauchy se emplea para demostrar, entre otros, el teorema de l’Hôpital, básico para resolver ciertos límites indeterminados.