Derivada en un máximo y en un mínimo

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Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada.

Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera en c debe ser nula, f’(c) = 0.

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si ese punto es un extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:

Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de tangente horizontal. Los puntos en que se anula la primera derivada se denominan puntos críticos.

Criterios

Criterio de la derivada primera

El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.

El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.

El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.

El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:

Cuadro del criterio de la derivada primera

Criterio de la derivada segunda

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El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es negativa.

El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y su segunda derivada es positiva.

El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este cuadro:

Cuadro del criterio de la derivada segunda

Pero si su segunda derivada siguiese siendo nula, f’’(c) = 0, entonces no podríamos afirmar nada.

Deberíamos obtener derivadas sucesivas hasta llegar a una derivada de orden n que no se anule. Si este orden n es par, cuando fn)(c) es negativa, entonces (c, f(c)) es un máximo local de la función. Pero si n sigue siendo par pero ahora fn)(c) fuese positiva, en ese caso (c, f(c)) sería un mínimo local de la función.

En el caso de que la derivada de orden n es la primera que no se anula y n es impar, el punto (c, f(c)) será un punto de inflexión.

Este criterio para derivadas sucesivas lo vemos resumido en este cuadro:

Cuadro del criterio de la derivada segunda por derivadas sucesivas

Hallar los extremos absolutos o globales y los extremos relativos o locales

Los extremos absolutos (máximos o mínimos absolutos) son los valores más grandes o más pequeños de una función f(x) bien en todo su dominio o bien de un intervalo cerrado [a, b].

El valor máximo o mínimo en un intervalo de una función (máximos o mínimos relativos o extremos relativos) pueden ser el mismo o no que el valor máximo absoluto o mínimo absoluto de esa función (en todo su dominio).

Cuando una función tiene una asíntota vertical, en la rama o ramas de la asíntota no existe un extremo absoluto (un valor extremo no puede tender a infinito, no sería un valor de la función).

Si hay varios extremos, por ejemplo dos máximos o dos mínimos, no pueden ser a la vez absolutos en el dominio o en el intervalo, salvo que sean iguales.

Para obtener los extremos procederemos así:

  • Derivar la función, obteniendo f’(x).
  • Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0. Supongamos que las raíces de f’(x) sean {r1, r2,…,rn}. Esta condición, necesaria pero no suficiente, requiere aplicar el criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada para descartar un posible punto de inflexión de tangente horizontal.
  • Se calcula la imagen de los extremos del intervalo [a, b], (f(a)f(b)). También se calcula la imagen de las raíces (f(r1), (f(r2) ,…, (f(rn) ).

El máximo o mínimo absolutos de f(x) o de un intervalo serán el valor máximo o mínimo de estos valores:

Fórmulas para hallar extremos por derivación

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Encontrar los máximos o mínimos, si los hubiere, en el dominio de esta función:

Enunciado del ejercicio 1

La función es continua y derivable en todo su dominio, pues es una parábola. Para encontrar máximos o mínimos, debemos hallar los valores que hacen nula a su derivada primera:

Valores que hacen nula la derivada primera del ejercicio 1

La única raíz es cero. Hay un único punto crítico, candidato a ser o un máximo o un mínimo.

Aplicamos el criterio de la derivada segunda. Vemos el valor que toma la segunda derivada para el valor de la raíz hallada en la primera derivada. El valor es también cero.

Valor de la segunda derivada del ejercicio 1

Como se ha dicho antes, si f’’(r) sigue siendo nula, iremos a derivadas sucesivas hasta llegar a una en la que, para este valor no se anule:

Derivadas sucesivas del ejercicio 1

La derivada que no se anula es de orden 4, que es par, y el valor que toma la derivada cuarta para x = 0 es 48, mayor que cero, por lo que el punto crítico hallado es un mínimo relativo.

Para ver las coordenadas de este mínimo, se hallará la imagen f(0).

Coordenadas del ejercicio 1

Las coordenadas de este mínimo local son (0, 0). Además, el punto es también un mínimo absoluto de la función, pues es el valor menor de su rango, que es [0, +∞). Como se ve en la imagen:

Dibujo del ejercicio 1

Ejercicio 2

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Determinar los máximos y mínimos, si los hubiere, de esta función:

Enunciado del ejercicio 2

Es una función polinómica definida en todo su dominio y derivable en él. Emplearemos el criterio de la derivada segunda. En primer lugar obtendremos la derivada primera, la igualamos a cero y obtenemos fácilmente las raíces de la ecuación, los valores que la hacen nula, al haberla factorizado:

Raíces del ejercicio 2

Hallamos su derivada segunda:

Derivada segunda del ejercicio 2

Calculamos el valor de esta función f’’(x) para cada valor de estas tres raíces halladas, viendo el signo en cada uno de ellos:

Valores de las raíces del ejercicio 2

Calculamos el valor de esta función f’’(x) para cada valor de estas tres raíces halladas, viendo el signo en cada uno de ellos:

El primer caso es un mínimo relativo en r1.

El segundo caso es un máximo relativo en r2.

El tercer caso es un mínimo relativo en r3.

Sustituyendo los valores de las tres raíces en la función f(x), obtenemos que los tres extremos están en los puntos de la función:

Extremos 1 del ejercicio 2

Los dos mínimos relativos son a su vez los mínimos absolutos de f(x), ya que el valor de las dos imágenes son iguales y que el rango de la función es:

Extremos 2 del ejercicio 2

Ejercicio 3

Determinar los máximos y mínimos de esta función:

Enunciado del ejercicio 3

Empleando el criterio de la derivada primera y siguiendo los pasos, derivaremos la función siguiendo el procedimiento de la derivada de un cociente (esta función es derivable en todo su dominio, excepto en x = ± 2, que son los dos valores que anulan al denominador).

La derivada primera es:

Primera derivada del ejercicio 3

Factorizando el numerador e igualando la derivada a cero:

Numerador del ejercicio 3

Se hallan las raíces que anulan la derivada, que serán los valores que anulan el numerador. Como está factorizado, el cálculo de las raíces es inmediato. Para el primer factor, x = 0. Para el segundo, bastará con resolver el paréntesis. El resultado es:

Raíces del ejercicio 3

Estas tres raíces son candidatas a ser máximos o mínimos. Para averiguarlo, vamos a evitar obtener la derivada segunda, viendo el signo de la función derivada f(x) en el entorno de las tres raíces.

En la primera raíz:

Signo de la primera raíz del ejercicio 3

Es un máximo local.

La segunda raíz:

Signo de la segunda raíz del ejercicio 3

Esta raíz es un punto de inflexión de tangente horizontal.

Veamos finalmente la tercera raíz:

Signo de la tercera raíz del ejercicio 3

Ésta es un mínimo local.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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