Función exponencial

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Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

Expresión general de una función exponencial.

Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.

Dibujo de la gráfica de una función exponencial.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

Dibujo de la gráfica de una función exponencial como inversa de la función logarítmica

Y, cuando 0 < a < 1:

Dibujo de la gráfica de una función exponencial como inversa de la función logarítmica con a menor que 1

Características

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  • Dominio: Dominio de la función exponencial.

    El dominio son todos los números reales.

  • Recorrido: Recorrido de la función exponencial.

    El recorrido son todos los números reales positivos.

  • Derivada de la función exponencial: Derivada de la función exponencial.

    En el caso particular en el que a sea igual al número irracional e (e = 2,7182818…), a esta forma de función potencial f(x) = ex se denomina función exponencial natural y se puede escribir también así: f(x) = exp(x). La derivada de la función f(x) = ex es ella misma. Es la única función que cumple esta propiedad.

  • Integral de la función exponencial: Integral de la función exponencial.
  • Todas las funciones exponenciales son continuas.
  • Todas son también cóncavas.
  • Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente.
    Dibujo de la función exponencial según si es creciente o decreciente.
  • La imagen de 0 siempre es 1 y la imagen de 1 es a.
    Imágenes de 0 y uno mediante una función exponencial.

    Así pues, las funciones exponenciales siempre pasan por los puntos (0 , 1) y (1 , a).

    Gráfica de una función exponencial pasando por (0,1) y (1,a).
  • La función exponencial es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones exponenciales cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades de las funciones exponenciales

Ejercicio

Sea la función exponencial con a = 2, definida por la función:

Expresión de un ejemplo de función exponencial.
Dibujo de la gráfica de un ejemplo de función exponencial.

La función es continua en todos los números reales.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

La gráfica de la función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 2).

Para completar la gráfica, obtenemos más puntos:

Puntos en el ejercicio 1

Y se reflejan en la gráfica:

Dibujo 2 de la gráfica en el ejercicio 1

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2015


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16 Respuestas

  1. Felipe dice:

    En las propiedades, la 1 y la 3 son las mismas…

    • Universo Formulas dice:

      Tienes razón Felipe, lo teníamos sin actualizar. Ya está corregido.
      Muchas gracias por la corrección.

  2. Rodrigo dice:

    Está mal la información en el segundo gráfico, a debe ser siempre positivo. puede ser: 0<a1 creciente.

  3. Rodrigo dice:

    0<a1 creciente.

  4. pablo jorquera dice:

    me saque un 1 por su culpa

    • Aarón Dávila Gutiérrez dice:

      xd x2 compa pero no por culpa de ellos (bueno en verdad si la información de la caracteristicas esta mal xddd (no enserio arreglenlo muchísimo más de la mitad esta re mal))

    • Respuestas dice:

      El gráfico es correcto. Toma valores negativos la función logarítmica, que es su función inversa y simétrica respecto a y = x

    • Manuel de Fco. Vázquez Paredes dice:

      Pues no busques en esta página hijo. JAJAJA saludos

    • Daniel san dice:

      hhhhmm dijo la marsh sinson

    • el pe dice:

      ooh yo tambien me saque un uno 77. pagina ql mala te apoyo pablo jorquera
      oye negro pepe anda a acostarte

    • el negro pepe dice:

      wn tonto para que le crees

    • Respuestas dice:

      Tienes razón en tus comentarios y el segundo gráfico está perfectamente. Puede ser creciente o decreciente, según el valor de a (si a >1 o 0 < a < 1). El dominio es R y el codominio o recorrido, 0, + ∞.

  5. el pe dice:

    esta bien aweonao ql soy puro wn igual que el negro pepe

  6. ale dice:

    quisiera saber quien es el autor y el año de publicacion

  7. Nicolas dice:

    quien es el autor?7

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