Derivada de una raíz

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La derivada de una raíz (también llamada función radical o función irracional), en su expresión simple es:

Fórmula de la derivada de una raíz

La derivada de la función radical simple es el resultado de dividir la unidad por el producto del índice de la raíz n por otra función radical, pero esta vez del radicando x elevada al exponente menos 1 (a n – 1).

Vista la derivada de la función radical simple, la derivada de una función radical compuesta, que es aquella en que la función contenida en el radicando (bajo la raíz) f(x) sea una función derivable, será la siguiente:

Fórmula de la derivada de una función radical compuesta

Demostración de la derivada de una raíz

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Se parte de fórmula de la definición analítica de derivada:

Definición analítica en la demostración de la derivada de una raíz

En este caso, ponemos como función a derivar la función radical más simple, es decir la raíz cuadrada de la variable independiente x:

Variable independiente en la demostración de la derivada de una raíz

Antes de desarrollar la demostración, recordaremos la expresión notable del producto de dos binomios conjugados, es decir que el producto de la suma por la diferencia es la diferencia de cuadrados:

Binomios en la demostración

Volvemos a la demostración, multiplicando la expresión anterior de la fórmula genérica de la derivada de una raíz, en la que en el numerador de la fracción aparece una resta. Multiplicamos la expresión por la unidad, en este caso por una fracción (en rojo) en la que el numerador y denominador es el binomio conjugado suma:

Binomio conjugado en la demostración

Desarrollamos, con la diferencia de cuadrados, cancelándose después los cuadrados con la raíz cuadrada:

Diferencia de cuadrados en la demostración

Cancelando en el numerador la x y en el numerador y denominador Δx, se puede hallar el límite llegando a la expresión buscada de la derivada de la raíz cuadrada de x:

Límite en la demostración

Esta expresión es extensible a la derivada de cualquier raíz de x:

Expresión extensible en la demostración

Otra manera de llegar a la demostración de la misma derivada radical simple es tener en cuenta que una raíz no es otra cosa que una potencia en la que su índice no es un número entero, sino una fracción.

La expresión de la derivada de una función potencial simple es:

Fórmula de la derivada de una potencia

Teniendo en cuenta lo que se ha dicho del exponente fraccionario, llegamos igualmente a la derivada de la función radical simple, aplicando la fórmula de la derivada potencial, desarrollando, teniendo en cuenta las propiedades de la potencia y de la suma y resta de fracciones:

Derivada potencial en la demostración

O, lo que es lo mismo:

Final en la demostración

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función radical:

Derivada del ejemplo 1

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta otra función radical compuesta:

Derivada del ejemplo 2

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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