Función convexa

Una función convexa (o cóncava hacia arriba) es una función, en la cual si dados dos puntos cualesquiera M y N de su gráfica, el segmento que los une queda por arriba de la curva de la función.

La concavidad y convexidad explican la forma de la gráfica de la función. De manera visual, una función convexa se asemeja a un valle.

Una función cóncava es lo contrario a una convexa. Ésta visualmente se asemeja a una montaña.

La convexidad de una función se puede estudiar en un punto, un intervalo o en toda la función.

Propiedades

• Si f(x) es una función convexa, entonces –f(x) es una función cóncava.
• Si f(x) es una función cóncava, entonces –f(x) es una función convexa.

Función convexa en un punto

Para estudiar si una función es convexa en un punto x, es necesario recurrir a la segunda derivada de la función. Sean f y f ' derivables.

Diremos que f es convexa en el punto x si la segunda derivada de f en x es mayor que 0 (f ''(x) > 0).

Función convexa en un intervalo

Sea el intervalo [a,b]. La función f es convexa en [a,b] si dados dos puntos cualesquiera M y N con coordenadas x₁ y x₂ de este intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.

También se puede estudiar si una función es convexa en un intervalo estudiando su convexidad en todos sus puntos.

La función f es convexa en el intervalo [a,b] si f ''(x) > 0 para todo x del intervalo.

Función estrictamente convexa

Se puede llamar función estrictamente convexa a aquellas que son convexas en todos sus puntos. Se cumple que el segmento une cualquier par de sus puntos queda siempre por encima de la función.

Una función estrictamente convexa tendrá únicamente un mínimo absoluto.

Ejercicio

Sea la función cuadrática f(x) = x². Primero se calcula la segunda derivada de f, o sea f ''(x).

Vemos que la segunda derivada es f ''(x) = 2 > 0 en todos los puntos, por lo que la función es estrictamente convexa en todo su dominio.

También se puede comprobar en la representación gráfica que cualquier segmento que une dos puntos cualesquiera M y N, dicho segmento queda por arriba de su curva.

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x₀ es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, para que un punto x₀ sea de inflexión es necesario que:

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.